1. Дайте определение синуса угла из раздела тригонометрии.

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет №10. 1. **Определение синуса угла** Синусом угла $\alpha$ называется ордината $y$ точки единичной окружности, полученной поворотом точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат. В прямоугольном треугольнике синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 2. **Формула объема шара** Объем шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ — радиус шара. 3. **Решение уравнения** $\sqrt[3]{3x^2 - 3} = \sqrt[3]{8x}$ Возведем обе части в куб: $3x^2 - 3 = 8x$ $3x^2 - 8x - 3 = 0$ Решим через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$ $x_1 = \frac{8 + 10}{6} = 3$ $x_2 = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{1}{3}$ Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{3}$. 4. **Объем конуса** Дано: $l = 17$ см, $d = 16$ см $\Rightarrow r = 8$ см. Найдем высоту $h$ через теорему Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см. Объем конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \pi \cdot 64 \cdot 5 = 320\pi \approx 1005.3$ см$^3$. Ответ: $320\pi$ см$^3$. 5. **Вычисление интеграла** $\int_{0}^{\pi} \left( \frac{4}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{4}{\sin^2 x} \right) dx$ Стоит заметить, что область определения функции $\frac{4}{\sqrt{1-x^2}}$ ограничена отрезком $[-1, 1]$. Предел интегрирования от $0$ до $\pi$ (где $\pi \approx 3.14$) выходит за пределы области определения ($1 < \pi$). Интеграл расходится или не определен на данном отрезке, так как функция $\frac{4}{\sqrt{1-x^2}}$ имеет разрыв (стремится к бесконечности) при $x=1$. Скорее всего, в условии опечатка.