6. Четыре курицы снесли за 4 дня 4 яйца. Сколько яиц снесут 16 кур за 16 дней?

6. Четыре курицы за 4 дня несут 4 яйца. Значит, одна курица за 4 дня несет 1 яйцо. Тогда 16 кур за 4 дня снесут $16 \times 1 = 16$ яиц. За 16 дней (это 4 периода по 4 дня) они снесут $16 \times 4 = 64$ яйца. Ответ: 64 яйца. 7. Пусть числа равны $a$ и $b$. Ищем пары натуральных чисел ($a, b \ge 1$), где $a + b > a \cdot b$. - Если $a=1$, то $1+b > 1 \cdot b$ $\Rightarrow$ $1+b > b$ (верно для любого натурального $b$). Пары: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), \dots$ - Если $a=2$, то $2+b > 2b$ $\Rightarrow$ $2 > b$. Значит, $b=1$. Пара: $(2, 1)$. - Если $a \ge 2, b \ge 2$, то $ab \ge a+b$ (например, $2 \cdot 2 = 4 = 2+2$, при больших числах произведение растет быстрее суммы). Ответ: $(1, n)$ и $(n, 1)$ для любого натурального $n$. 8. Число: 3 728 954 106. Нужно оставить 7 цифр, чтобы число было наименьшим. Чтобы число было наименьшим, первая цифра должна быть как можно меньше. В первых четырех цифрах (3, 7, 2, 8) наименьшая — 2 (на третьем месте). Зачеркиваем 3 и 7. Получаем 2 8 9 5 4 1 0 6. Теперь нужно зачеркнуть еще одну цифру так, чтобы число стало минимальным. Мы уже убрали 2 цифры, осталось убрать одну из 2, 8, 9, 5, 4, 1, 0, 6. Чтобы сделать число меньше, нужно убрать самую большую цифру, стоящую левее. Уберем 9. Получаем: 2854106. Ответ: 2854106. 9. Последняя цифра суммы $94^6 + 76^6 + 51^6$. - $94^6$ оканчивается на 6 (любая степень числа, оканчивающегося на 4, с четным показателем дает 6). - $76^6$ оканчивается на 6 (любая степень числа, оканчивающегося на 6, дает 6). - $51^6$ оканчивается на 1. Сумма: $6 + 6 + 1 = 13$. Последняя цифра — 3. Ответ: 3. 10. Число вида X23Y, кратное 36. Число должно делиться на 4 и на 9. - Делимость на 4: число, образованное двумя последними цифрами (3Y), должно делиться на 4. Это 32 или 36. Значит, Y может быть 2 или 6. - Делимость на 9: сумма цифр $X+2+3+Y$ должна делиться на 9. - Если Y=2: $X+2+3+2 = X+7$. $X+7$ делится на 9 при $X=2$. Число 2232 ($2232 / 36 = 62$). - Если Y=6: $X+2+3+6 = X+11$. $X+11$ делится на 9 при $X=7$. Число 7236 ($7236 / 36 = 201$). Ответ: 2 и 2 (число 2232) или 7 и 6 (число 7236).