1. Исследуйте функцию и постройте график: f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x.

Для исследования функции $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ выполним следующие шаги: 1. **Область определения:** Функция определена на всей числовой прямой, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. 2. **Точки пересечения с осями:** - С осью $OY$ ($x=0$): $f(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0$. Точка $(0, 0)$. - С осью $OX$ ($f(x)=0$): $x^3 + 6x^2 + 9x = 0 \Rightarrow x(x^2 + 6x + 9) = 0 \Rightarrow x(x+3)^2 = 0$. Точки $x=0$ и $x=-3$. 3. **Производная и критические точки:** $f'(x) = 3x^2 + 12x + 9$. Приравняем производную к нулю: $3(x^2 + 4x + 3) = 0 \Rightarrow 3(x+1)(x+3) = 0$. Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$. 4. **Промежутки монотонности и экстремумы:** - На интервале $(-\infty, -3)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает). - На интервале $(-3, -1)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает). - На интервале $(-1, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Локальный максимум в точке $x = -3$: $f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0$. Локальный минимум в точке $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4$. 5. **Вторая производная и перегиб:** $f''(x) = 6x + 12 = 6(x+2)$. $f''(x) = 0 \Rightarrow x = -2$. При $x < -2$ функция выпукла вверх, при $x > -2$ — выпукла вниз. Точка перегиба $(-2, f(-2)) = (-2, -8 + 24 - 18) = (-2, -2)$. :::div .chart-container @chart-1:::