146. а) sqrt{x^2+2x+10}=2x-1; б) sqrt{x^2-16}=x^2-22; в) sqrt{17+2x-3x^2}=x+1; г) sqrt{x^2+9}=x^2-11.

Для решения иррациональных уравнений вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ необходимо возвести обе части в квадрат, при этом соблюдая условие $g(x) \ge 0$. Полученные корни нужно проверить. ### а) $\sqrt{x^2+2x+10} = 2x-1$ 1. Возводим в квадрат: $x^2 + 2x + 10 = (2x - 1)^2$ $x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1$ $3x^2 - 6x - 9 = 0$ $x^2 - 2x - 3 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 3, x_2 = -1$. 2. Проверка условия $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge 0.5$): $x = 3: 2(3) - 1 = 5 > 0$ (подходит) $x = -1: 2(-1) - 1 = -3 < 0$ (не подходит) **Ответ: 3** ### б) $\sqrt{x^2-16} = x^2-22$ Пусть $t = x^2-16$, где $t \ge 0$. Тогда $x^2-22 = t - 6$. Уравнение: $\sqrt{t} = t - 6$ $t = (t-6)^2$ $t = t^2 - 12t + 36$ $t^2 - 13t + 36 = 0$ $t_1 = 9, t_2 = 4$. Проверка условия $t - 6 \ge 0$ ($t \ge 6$): $t = 4$ — не подходит. $t = 9$: $9 - 6 = 3 > 0$ (подходит). Вернемся к $x$: $x^2 - 16 = 9 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$. **Ответ: -5; 5** ### в) $\sqrt{17+2x-3x^2} = x+1$ 1. Возводим в квадрат: $17 + 2x - 3x^2 = (x+1)^2$ $17 + 2x - 3x^2 = x^2 + 2x + 1$ $4x^2 = 16$ $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. 2. Проверка условия $x + 1 \ge 0$ ($x \ge -1$): $x = 2: 2 + 1 = 3 > 0$ (подходит) $x = -2: -2 + 1 = -1 < 0$ (не подходит) **Ответ: 2** ### г) $\sqrt{x^2+9} = x^2-11$ Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. $\sqrt{t+9} = t - 11$ $t+9 = t^2 - 22t + 121$ $t^2 - 23t + 112 = 0$ Корни по дискриминанту: $D = 23^2 - 4(112) = 529 - 448 = 81 = 9^2$. $t_1 = (23+9)/2 = 16$ $t_2 = (23-9)/2 = 7$ Проверка условия $t-11 \ge 0$ ($t \ge 11$): $t = 7$ — не подходит. $t = 16$ — подходит ($16-11 = 5 > 0$). Вернемся к $x$: $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$. **Ответ: -4; 4**