Допущение: Восстановлены пропущенные символы в задаче 10 (диаметр/образующая) и задачах на производные.

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет. Вот подробные решения: **1. Решение уравнений:** а) $\log_5(5-x) = \log_5 3$. ОДЗ: $5-x > 0 \Rightarrow x < 5$. Убираем логарифмы: $5-x = 3 \Rightarrow x = 2$. Ответ: 2. б) $\frac{1}{7x+13} = \frac{1}{4x-5}$. ОДЗ: $x \neq -13/7, x \neq 5/4$. Перекрестное умножение: $4x-5 = 7x+13 \Rightarrow -3x = 18 \Rightarrow x = -6$. Ответ: -6. в) $\sin(\frac{\pi x}{3}) = 0.5$. Аргумент равен $\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. $\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = 0.5 + 6n$. $\frac{\pi x}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = 2.5 + 6n$. Ответ: $0.5+6n, 2.5+6n$, $n \in \mathbb{Z}$. г) $\sqrt{x} = x-2$. ОДЗ: $x \ge 0, x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Возводим в квадрат: $x = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$. Корни: $x_1=1, x_2=4$. Учитывая ОДЗ ($x \ge 2$), подходит только $x=4$. Ответ: 4. **2. Решение неравенств:** а) $0.3^{5x-6} > 0.027$. $0.027 = 0.3^3$. Основание $0.3 < 1$, знак меняется: $5x-6 < 3 \Rightarrow 5x < 9 \Rightarrow x < 1.8$. Ответ: $(-\infty; 1.8)$. б) $\log_{1.3}(4x+2) \ge -1$. ОДЗ: $4x+2 > 0 \Rightarrow x > -0.5$. $4x+2 \ge 1.3^{-1} \Rightarrow 4x+2 \ge 1/1.3 \approx 0.77$. $4x \ge -1.23 \Rightarrow x \ge -0.3075$. Ответ: $[-0.3075; +\infty)$. в) $\sqrt{2x+7} \le 21$. ОДЗ: $2x+7 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3.5$. Возводим в квадрат: $2x+7 \le 441 \Rightarrow 2x \le 434 \Rightarrow x \le 217$. Ответ: $[-3.5; 217]$. г) $\cos x < 1/2$. На окружности это дуга от $\pi/3$ до $5\pi/3$. Ответ: $(\pi/3 + 2\pi n; 5\pi/3 + 2\pi n)$. **3. Производные:** а) $y' = (x)'\cos x + x(\cos x)' = 1 \cdot \cos x - x \sin x = \cos x - x \sin x$. б) $y' = (4x^{10})' + (\frac{3x^7}{7})' - (\frac{x}{5})' + (e)' = 40x^9 + 3x^6 - 1/5$ ($e$ — константа, ее производная 0). **4. Уравнение касательной:** $f(-2) = (-2)^2 + 6(-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$. Точка $(-2, 0)$. $f'(x) = 2x + 6$. $f'(-2) = 2(-2) + 6 = 2$. Уравнение: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \Rightarrow y = 0 + 2(x - (-2)) \Rightarrow y = 2x + 4$. Ответ: $y=2x+4$. **5. Исследование функции:** $f'(x) = -3x^2 - 6x + 45$. Приравняем к 0: $-3(x^2 + 2x - 15) = 0 \Rightarrow (x+5)(x-3)=0$. Критические точки: $-5, 3$. $f'(-6) < 0, f'(0) > 0, f'(4) < 0$. Минимум в $-5$, максимум в $3$. **6. Наибольшее/наименьшее на $[-2; 3]$:** $y' = 3x^2 - 18x - 21 = 3(x^2 - 6x - 7) = 3(x-7)(x+1)$. Точка $-1$ внутри $[-2, 3]$. $f(-2) = -8 - 36 + 42 - 7 = -9$. $f(-1) = -1 - 9 + 21 - 7 = 4$. $f(3) = 27 - 81 - 63 - 7 = -124$. Ответ: min = -124, max = 4. **7. Интегралы:** а) $\int(x^4 - 2x^3 + 4\sin x)dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} - 4\cos x + C = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} - 4\cos x + C$. б) $\int(x^2 + 8x + 16)(x-3)dx = \int(x^3 - 3x^2 + 8x^2 - 24x + 16x - 48)dx = \int(x^3 + 5x^2 - 8x - 48)dx = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} - 4x^2 - 48x + C$. **8. Определенный интеграл:** $\int_{-1}^{1}(3x+4-x^2)dx = [\frac{3x^2}{2} + 4x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} = (1.5 + 4 - 0.33) - (1.5 - 4 + 0.33) = 5.17 - (-2.17) = 7.34$. **9. Площадь фигуры:** $y=x^2$ и $y=9$. Точки пересечения $x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$. $S = \int_{-3}^{3} (9-x^2)dx = [9x - x^3/3]_{-3}^3 = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 36$. **10. Геометрия (конус):** $S_{бок} = \pi R l = 0.1$. $l = 1/\pi$. $\pi R (1/\pi) = 0.1 \Rightarrow R = 0.1$. Площадь основания $S_{осн} = \pi R^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi$. **11. Шары:** $D_1 = 8D_2 \Rightarrow R_1 = 8R_2$. $S = 4\pi R^2$. $S_1/S_2 = (R_1/R_2)^2 = 8^2 = 64$. Ответ: в 64 раза. **12. Автомобили (пробег 500 км):** А: $3700 + 5 \times (7 \text{ л} \times 19 \text{ руб}) = 3700 + 5 \times 133 = 3700 + 665 = 4365$. Б: $3200 + 5 \times (10 \text{ л} \times 22 \text{ руб}) = 3200 + 5 \times 220 = 3200 + 1100 = 4300$. В: $3200 + 5 \times (14 \text{ л} \times 14 \text{ руб}) = 3200 + 5 \times 196 = 3200 + 980 = 4180$. Самый дешевый вариант — Б (ошибка, пересчет: Б=4300, В=4180). Ответ: 4180 (вариант В).