1. Найти для функции f(x) = 9x^2 + 4x - 3 первообразную, график которой проходит через точку M(-1, 3).

### 1. Нахождение первообразной Для функции $f(x) = 9x^2 + 4x - 3$ первообразная $F(x)$ имеет вид: $F(x) = \int (9x^2 + 4x - 3) dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = 3x^3 + 2x^2 - 3x + C$ График проходит через точку $M(-1, 3)$, значит, $F(-1) = 3$: $3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 3(-1) + C = 3$ $-3 + 2 + 3 + C = 3$ $2 + C = 3 \Rightarrow C = 1$ **Ответ:** $F(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1$. ### 2. Вычисление неопределенных интегралов а) $\int (x^4(x - 3)^2) dx = \int x^4(x^2 - 6x + 9) dx = \int (x^6 - 6x^5 + 9x^4) dx = \frac{x^7}{7} - x^6 + \frac{9x^5}{5} + C$ б) $\int \frac{3x^3 + 5x^2 - 1}{x^3} dx = \int (3 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^3}) dx = 3x + 5\ln|x| + \frac{1}{2x^2} + C$ ### 3. Вычисление определенного интеграла $\int_{-1}^{2} (6x^5 - 4x^3 + 6x - 3) dx = [x^6 - x^4 + 3x^2 - 3x]_{-1}^{2}$ Подставим верхний предел ($x=2$): $2^6 - 2^4 + 3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 = 64 - 16 + 12 - 6 = 54$ Подставим нижний предел ($x=-1$): $(-1)^6 - (-1)^4 + 3(-1)^2 - 3(-1) = 1 - 1 + 3 + 3 = 6$ Разность: $54 - 6 = 48$. **Ответ:** 48. ### 4. Нахождение площади фигуры Площадь $S = \int_{-3}^{3} (x^2 + 3) dx = [\frac{x^3}{3} + 3x]_{-3}^{3}$ $S = (\frac{27}{3} + 9) - (\frac{-27}{3} - 9) = (9 + 9) - (-9 - 9) = 18 - (-18) = 36$. **Ответ:** 36.