1) 1/(5-lg x) + 2/(1+lg x) < 1

Привет! Давай решим эти логарифмические неравенства шаг за шагом. ### 1) $\frac{1}{5-\lg x} + \frac{2}{1+\lg x} < 1$ Пусть $t = \lg x$. Тогда: $\frac{1}{5-t} + \frac{2}{1+t} < 1$ $\frac{1+t + 2(5-t) - (5-t)(1+t)}{(5-t)(1+t)} < 0$ $\frac{1+t+10-2t-(5+4t-t^2)}{(5-t)(1+t)} < 0$ $\frac{t^2-5t+6}{(5-t)(1+t)} < 0$ $\frac{(t-2)(t-3)}{(5-t)(1+t)} < 0$ Методом интервалов для $t$ получаем: $t \in (-\infty, -1) \cup (2, 3) \cup (5, +\infty)$. Возвращаясь к $x = 10^t$ (учитывая ОДЗ: $x > 0$): $x \in (0, 0.1) \cup (100, 1000) \cup (100000, +\infty)$. ### 2) $\log_3(2-3^{-x}) < x+1-\log_3 4$ $\log_3(2-3^{-x}) < x+\log_3 3 - \log_3 4$ $\log_3(2-3^{-x}) < \log_3(3^x) + \log_3(3/4)$ $\log_3(2-3^{-x}) < \log_3(3^x \cdot \frac{3}{4})$ Так как основание $3 > 1$, знак сохраняется: $2 - 3^{-x} < \frac{3^{x+1}}{4}$ Пусть $y = 3^x$, тогда $2 - 1/y < 3y/4 \Rightarrow 8y - 4 < 3y^2 \Rightarrow 3y^2 - 8y + 4 > 0$. Корни: $y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64-48}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6} \Rightarrow y_1 = 2, y_2 = 2/3$. $3^x > 2$ или $3^x < 2/3$. $x > \log_3 2$ или $x < \log_3(2/3) = \log_3 2 - 1$. ОДЗ: $2 - 3^{-x} > 0 \Rightarrow 3^{-x} < 2 \Rightarrow -x < \log_3 2 \Rightarrow x > -\log_3 2$. Ответ: $x \in (-\log_3 2, \log_3 2 - 1) \cup (\log_3 2, +\infty)$. ### 3) $\log_{x^2-3}(4x+7) > 0$ Случай 1: $x^2-3 > 1$ ($x^2 > 4 \Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$). Тогда $4x+7 > 1 \Rightarrow 4x > -6 \Rightarrow x > -1.5$. Пересечение: $x > 2$. Случай 2: $0 < x^2-3 < 1$ ($3 < x^2 < 4 \Rightarrow x \in (-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2)$). Тогда $0 < 4x+7 < 1 \Rightarrow -7 < 4x < -6 \Rightarrow -1.75 < x < -1.5$. Пересечение с условием $x^2-3 < 1$: $x \in (-1.75, -1.5)$. Ответ: $x \in (-1.75, -1.5) \cup (2, +\infty)$. ### 4) $\log_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt{6-2x}) < 0$ ОДЗ: $6-2x > 0 \Rightarrow x < 3$. Также $x \neq 1$, $x \neq 1.2$. База: $\frac{x-1}{5x-6} > 0$ и $\neq 1$. $\frac{x-1}{5x-6} > 0 \Rightarrow x \in (- \infty, 1) \cup (1.2, +\infty)$. Случай 1: $\frac{x-1}{5x-6} > 1 \Rightarrow \frac{x-1-5x+6}{5x-6} > 0 \Rightarrow \frac{-4x+5}{5x-6} > 0 \Rightarrow \frac{4x-5}{5x-6} < 0 \Rightarrow x \in (1.2, 1.25)$. Тогда $\sqrt{6-2x} < 1 \Rightarrow 6-2x < 1 \Rightarrow 2x > 5 \Rightarrow x > 2.5$. Нет пересечения с $(1.2, 1.25)$. Случай 2: $0 < \frac{x-1}{5x-6} < 1 \Rightarrow x \in (-\infty, 1) \cup (1.25, 3)$. Тогда $\sqrt{6-2x} > 1 \Rightarrow 6-2x > 1 \Rightarrow 2x < 5 \Rightarrow x < 2.5$. Пересечение: $x \in (-\infty, 1) \cup (1.25, 2.5)$. Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1.25, 2.5)$.