1. Вычислите: а) (1 балл) 3 3/8 под корнем 3 степени.

Привет! Давай разберем твою экзаменационную работу по математике. ### Задание 1 а) $\sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2} = 1,5$. б) $8\sqrt{2} \cdot \cos(-\frac{\pi}{3}) \cdot \sin(-\frac{\pi}{4}) = 8\sqrt{2} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) \cdot (-\sin(\frac{\pi}{4})) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 8\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{4}) = 8 \cdot (-\frac{2}{4}) = 8 \cdot (-0,5) = -4$. ### Задание 2 а) $27^{\frac{2}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{4}} - 64^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{4}} - (4^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 \cdot 2^1 - 4^2 = 9 \cdot 2 - 16 = 18 - 16 = 2$. б) $\frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} \log_3 9 = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 2 = \frac{2}{3} \cdot (-1) = -\frac{2}{3}$. ### Задание 3 а) $\log_6(14-4x) = \log_6(2x+2)$. ОДЗ: $14-4x > 0 \Rightarrow x < 3,5$ и $2x+2 > 0 \Rightarrow x > -1$. Приравниваем аргументы: $14-4x = 2x+2 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$. Корень подходит. б) $0,3^{5-2x} = 0,09 \Rightarrow 0,3^{5-2x} = 0,3^2$. Так как основания равны: $5-2x = 2 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$. ### Задание 4 а) $(\frac{1}{7})^{x^2-9} \le 1$. $1 = (\frac{1}{7})^0$. Основание меньше 1, знак меняется: $x^2-9 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 9 \Rightarrow x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$. б) $\lg(2x-3) \ge \lg(3x-5)$. ОДЗ: $2x-3 > 0 \Rightarrow x > 1,5$ и $3x-5 > 0 \Rightarrow x > 1,66...$ (объединяем: $x > 1,66...$). Неравенство: $2x-3 \ge 3x-5 \Rightarrow -x \ge -2 \Rightarrow x \le 2$. С учетом ОДЗ: $x \in (1 \frac{2}{3}; 2]$. ### Задание 5 $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$. Т.к. $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть), косинус отрицателен: $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$. ### Задание 6 $y = -3x^3 + 2 \Rightarrow y' = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$. В точке $x=\sqrt{5}$: $y'(\sqrt{5}) = -9 \cdot (\sqrt{5})^2 = -9 \cdot 5 = -45$. ### Задание 7 $f(x) = x^4 - 4x^3 \Rightarrow f'(x) = 4x^3 - 12x^2$. Решаем $4x^3 - 12x^2 = 0 \Rightarrow 4x^2(x-3) = 0$. Корни: $x=0$, $x=3$. ### Задание 8 $\int_{-5}^{0} \frac{2x}{5} dx = \frac{2}{5} \int_{-5}^{0} x dx = \frac{2}{5} [\frac{x^2}{2}]_{-5}^{0} = \frac{1}{5} [x^2]_{-5}^{0} = \frac{1}{5} (0^2 - (-5)^2) = \frac{1}{5} (-25) = -5$. ### Задание 9 Вероятность $P(A) = 0,67$. Для двух людей события независимы, поэтому вероятность того, что у обоих есть все зубы, равна $P(A) \cdot P(A) = 0,67 \cdot 0,67 = 0,4489 \approx 0,45$. ### Задание 10 $3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. $3t^2 - 5t - 2 = 0$. $D = 25 - 4(3)(-2) = 49$. $t_1 = (5+7)/6 = 2$ (не подходит, $>1$), $t_2 = (5-7)/6 = -1/3$. $\sin x = -1/3 \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin(-1/3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### Задание 11 $y = x^3 + 3x^2 - 24x + 1$. $y' = 3x^2 + 6x - 24$. Приравняем к нулю: $x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x_1 = -4, x_2 = 2$. Метод интервалов: функция убывает там, где $y' < 0$. Это интервал $(-4; 2)$. ### Задание 12 $y = x^2 - 4x$. Пересечение с Ох: $x(x-4)=0 \Rightarrow x=0, x=4$. Фигура ниже оси Ох, площадь $S = -\int_{0}^{4} (x^2-4x) dx = -[\frac{x^3}{3} - 2x^2]_0^4 = -(\frac{64}{3} - 32) = -(\frac{64-96}{3}) = -(-\frac{32}{3}) = 10 \frac{2}{3}$.