Допущение: для выполнения заданий 10-14 приведены решения с использованием стандартных методов математического анализа и алгебры.

### Задание 10 Исследовать функцию $f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x$ на монотонность и экстремумы. 1. Найдем производную функции: $f'(x) = (3x^3 - 2x^2 - 5x)' = 9x^2 - 4x - 5$ 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $9x^2 - 4x - 5 = 0$ Решим через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 16 + 180 = 196 = 14^2$ $x_1 = \frac{4 - 14}{18} = \frac{-10}{18} = -\frac{5}{9}$ $x_2 = \frac{4 + 14}{18} = 1$ 3. Определим знаки производной на интервалах: - $(-\infty; -\frac{5}{9})$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает) - $(-\frac{5}{9}; 1)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает) - $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает) 4. Экстремумы: - Точка максимума: $x_{max} = -\frac{5}{9}$. Значение: $f(-\frac{5}{9}) = 3(-\frac{125}{729}) - 2(\frac{25}{81}) - 5(-\frac{5}{9}) = -\frac{125}{243} - \frac{150}{243} + \frac{675}{243} = \frac{400}{243} \approx 1.646$ - Точка минимума: $x_{min} = 1$. Значение: $f(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) = 3 - 2 - 5 = -4$ ### Задание 11 а) $\log_2(8 + 3x) = \log_2(3 + x) + 1$ ОДЗ: $8+3x > 0 \Rightarrow x > -8/3$, $3+x > 0 \Rightarrow x > -3$. Значит, $x > -8/3$. $\log_2(8 + 3x) = \log_2(3 + x) + \log_2(2)$ $\log_2(8 + 3x) = \log_2(2(3 + x))$ $8 + 3x = 6 + 2x$ $x = -2$ Проверка: $-2 > -8/3$ (верно). **Ответ: -2**. б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 = 0$ Пусть $5^x = t$ ($t > 0$). $t^2 + 4t - 5 = 0$ По теореме Виета $t_1 = -5$ (не подходит, так как $t>0$), $t_2 = 1$. $5^x = 1 \Rightarrow x = 0$. **Ответ: 0**. ### Задание 12 А) $\log_3(x - 3) < 1 \Rightarrow 0 < x - 3 < 3^1 \Rightarrow 3 < x < 6$. Соответствует графику **1**. Б) $5^{-x+2} > 5^{-1} \Rightarrow -x + 2 > -1 \Rightarrow -x > -3 \Rightarrow x < 3$. Соответствует графику **2**. В) $\frac{x - 3}{(x - 6)^2} > 0$. Числитель $x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$, знаменатель $\neq 0 \Rightarrow x \neq 6$. Интервал $(3; 6) \cup (6; +\infty)$. Соответствует графику **4**. Г) $(x - 3)(x - 6) > 0$. Корни 3 и 6. $x \in (-\infty; 3) \cup (6; +\infty)$. Соответствует графику **3**. ### Задание 13 а) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{3 - 2}{3 + 2} = \frac{1}{5} = 0.2$ б) $\lim_{x \to \infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x - 6} = \lim_{x \to \infty} \frac{12 + 5/x + 2/x^2}{6 + 5/x - 6/x^2} = \frac{12}{6} = 2$ в) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 1}{x - 2}$. При $x \to 2$, числитель $\to 11$, знаменатель $\to 0$. Предел равен $\infty$. Точнее: при $x \to 2+0$, предел $= +\infty$; при $x \to 2-0$, предел $= -\infty$. Предел не существует (равен $\infty$). ### Задание 14 Производная $f'(x)$ равна угловому коэффициенту касательной (tg угла наклона). - Точка A: касательная идет вверх (возрастание), $f'(A) > 0$. - Точка B: касательная горизонтальна (экстремум), $f'(B) = 0$. - Точка C: касательная идет вниз (убывание), $f'(C) < 0$. - Точка D: касательная идет вверх (возрастание), $f'(D) > 0$.