Решить уравнение (231—235). 1) log_2 (x - 5) + log_2 (x + 2) = 3;

Для решения логарифмических уравнений будем использовать свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$. Также важно учитывать область допустимых значений (ОДЗ), чтобы выражение под знаком логарифма было положительным. ### 1) $\log_2 (x - 5) + \log_2 (x + 2) = 3$ ОДЗ: $\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 5$. $\log_2 ((x - 5)(x + 2)) = 3$ $(x - 5)(x + 2) = 2^3$ $x^2 + 2x - 5x - 10 = 8$ $x^2 - 3x - 18 = 0$ Корни по теореме Виета: $x_1 = 6$, $x_2 = -3$ (не подходит по ОДЗ, так как $-3 < 5$). **Ответ: 6.** ### 2) $\log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 6) = 2$ ОДЗ: $\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2$. $\log_3 ((x - 2)(x + 6)) = 2$ $(x - 2)(x + 6) = 3^2$ $x^2 + 6x - 2x - 12 = 9$ $x^2 + 4x - 21 = 0$ Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -7$ (не подходит по ОДЗ, так как $-7 < 2$). **Ответ: 3.** ### 3) $\lg (x + \sqrt{3}) + \lg (x - \sqrt{3}) = 0$ ОДЗ: $\begin{cases} x + \sqrt{3} > 0 \\ x - \sqrt{3} > 0 \end{cases} \Rightarrow x > \sqrt{3}$. $\lg ((x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})) = 0$ $x^2 - 3 = 10^0$ $x^2 - 3 = 1$ $x^2 = 4$ $x = 2$ или $x = -2$. Корень $-2$ не подходит по ОДЗ ($ -2 < \sqrt{3} \approx 1.73$). **Ответ: 2.** ### 4) $\lg (x - 1) + \lg (x + 1) = 0$ ОДЗ: $\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1$. $\lg ((x - 1)(x + 1)) = 0$ $x^2 - 1 = 10^0$ $x^2 - 1 = 1$ $x^2 = 2$ $x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$ (не подходит по ОДЗ). **Ответ: \sqrt{2}.**