Решите уравнение: log3(x + 3) = log3 16.

Привет! Давай решим задания из всех билетов по порядку. ### Билет №4 1. $\log_3(x + 3) = \log_3 16 \Rightarrow x + 3 = 16 \Rightarrow x = 13$. 2. $f'(x) = (6 \sin x + \operatorname{tg} x)' = 6 \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$. При $x = -\frac{\pi}{6}$: $6 \cos(-\frac{\pi}{6}) + \frac{1}{\cos^2(-\frac{\pi}{6})} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{(\sqrt{3}/2)^2} = 3\sqrt{3} + \frac{4}{3} = 3\sqrt{3} + 1\frac{1}{3}$. 3. Площадь: $\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{4}{3}$. 4. Теоретический вопрос: Перпендикуляр к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с её проекцией. Наклонная — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с любой другой точкой плоскости. Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. 5. $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi \Rightarrow R^3 = 27 \Rightarrow R = 3$. Площадь сферы $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$ см$^2$. ### Билет №5 1. $\lg x = \lg 25 - \lg 5 = \lg(\frac{25}{5}) = \lg 5 \Rightarrow x = 5$. 2. Угловой коэффициент $k = f'(x_0)$. $f'(x) = -4 \sin x$. При $x_0 = -\frac{\pi}{3}$: $f'(-\frac{\pi}{3}) = -4 \sin(-\frac{\pi}{3}) = -4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3}$. 3. Площадь: $\int_{-3}^{2} (0,5x + 2) dx = [0,25x^2 + 2x]_{-3}^{2} = (0,25 \cdot 4 + 4) - (0,25 \cdot 9 - 6) = 5 - (2,25 - 6) = 5 + 3,75 = 8,75$. 4. Теоретический вопрос: Перпендикуляр — кратчайшее расстояние. Наклонная длиннее перпендикуляра. Теорема: если наклонная перпендикулярна прямой на плоскости, то и проекция перпендикулярна этой прямой. 5. Прямоугольник 6x10 вращается вокруг стороны 10 см. Получится цилиндр с радиусом $R = 6$ и высотой $H = 10$. Площадь полной поверхности: $2\pi R(R+H) = 2\pi \cdot 6 \cdot (6+10) = 12\pi \cdot 16 = 192\pi$ см$^2$. ### Билет №6 1. $\log_7(9 + x) = \log_7 2 \Rightarrow 9 + x = 2 \Rightarrow x = -7$. 2. $v(t) = S'(t) = ( -0,5t^2 )' = -t$. Через 4 с: $v(4) = -4$ м/с. (Скорость по модулю равна 4 м/с). 3. Площадь: $\int_{0}^{3} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9$. 4. Теоретический вопрос: Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. 5. В конусе: $l = 5$, $R = 3$. Высота $h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$. Объем $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$ см$^3$.