Задание 1. Найдите производную функций:

Привет! Давай разберем твои задания по порядку. ### Задание 1. Найдите производную функций: a) $f(x) = 5x^4 + x^2 - 7$ $f'(x) = 20x^3 + 2x$ б) $f(x) = 6\cos x + 6$ $f'(x) = -6\sin x$ в) $f(x) = (x + 5)(2x - 4)$ $f(x) = 2x^2 - 4x + 10x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$ $f'(x) = 4x + 6$ ### Задание 2. Уравнение касательной к $f(x) = 2x^2 - x + 3$ в точке $x_0 = 1$: 1) $f(x_0) = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$ 2) $f'(x) = 4x - 1$. Значит, $f'(x_0) = 4(1) - 1 = 3$ (это угловой коэффициент $k$) 3) Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ $y = 4 + 3(x - 1) = 4 + 3x - 3 = 3x + 1$ **Ответ: $y = 3x + 1$** ### Задание 3. Площадь фигуры: $y = 2x^2$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$. Это определенный интеграл: $S = \int_{1}^{2} 2x^2 dx = [\frac{2x^3}{3}]_{1}^{2} = \frac{2(8)}{3} - \frac{2(1)}{3} = \frac{16 - 2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$ **Ответ: $4\frac{2}{3}$ кв. ед.** ### Задание 4. Решите уравнения: a) $\operatorname{ctg} x - 1/2 = 0 \Rightarrow \operatorname{ctg} x = 0.5$ $x = \operatorname{arcctg}(0.5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\log_4 \frac{x + 1}{3} = \log_4 \frac{-3x + 5}{2}$ ОДЗ: $\frac{x+1}{3} > 0 \Rightarrow x > -1$; $\frac{-3x+5}{2} > 0 \Rightarrow x < \frac{5}{3}$ $\frac{x + 1}{3} = \frac{-3x + 5}{2}$ $2x + 2 = -9x + 15 \Rightarrow 11x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{11}$ в) $4^{x^2 - 4x - 2} = 64 = 4^3$ $x^2 - 4x - 2 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 5, x_2 = -1$ ### Задание 5. Решите неравенство: $\frac{2x + 8x^2}{2x - 1} < 0 \Rightarrow \frac{2x(1 + 4x)}{2x - 1} < 0$ Корни: $x = 0, x = -0.25, x = 0.5$ Метод интервалов: $(-\infty; -0.25) \cup (0; 0.5)$ ### Задание 6. Исследование функции (график): - Область определения: $x \in [-3; 6]$ - Область значений: $y \in [-1.5; 2]$ - Нули функции: $x \approx -2, x = 3, x = 5$ - Точки экстремума: максимум $(1; 2)$, минимум $(3.5; -1.5)$ ### Задание 7. Площадь поверхности параллелепипеда: Площади граней (попарно равные): $S_1 = 4, S_2 = 2, S_3 = 3$. Полная поверхность: $S_{полн} = 2(S_1 + S_2 + S_3) = 2(4 + 2 + 3) = 18$ см². **Ответ: 18 см².** ### Задание 8. Высота конуса: Радиус $R = 3$, образующая $L = 5$. Высота $H$ по теореме Пифагора: $H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$. **Ответ: 4 м.**