Решите задачу: Артем получил премию. Из этой суммы премия вычитается необлагаемая налогом часть в сумме 10тыс. рублей, из оставшейся части он должен будет заплатить налог 13%, который составил 3 тыс. рублей. Сколько денег останется у Артема?

Это довольно объемная контрольная работа. Давай решим задания по порядку: 1. Артем получил премию. Вычтем необлагаемую часть: $P - 10000$. С этой разницы он платит 13% налог, который равен 3000 руб. Значит: $(P - 10000) \cdot 0,13 = 3000$. $P - 10000 = 3000 / 0,13 \approx 23076,9$. Тогда остаток у Артема: $(P - 10000) - 3000 = 23076,9 - 3000 = 20076,9$ руб. 2. Упростим: $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^2} = \frac{a-b}{a+b}$. Подставим $a=7, b=29$: $\frac{7-29}{7+29} = \frac{-22}{36} = -\frac{11}{18}$. 3. а) $16^{x-1} = 0,5 \Rightarrow 2^{4(x-1)} = 2^{-1} \Rightarrow 4x - 4 = -1 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = 0,75$. б) $\log_3(-x-1) = -1 \Rightarrow -x-1 = 3^{-1} \Rightarrow -x-1 = 1/3 \Rightarrow -x = 4/3 \Rightarrow x = -4/3$. 4. $x^4 + 25x^2 - 3,1 > -3,1 \Rightarrow x^4 + 25x^2 > 0 \Rightarrow x^2(x^2 + 25) > 0$. Так как $x^2 + 25 > 0$ всегда, то $x^2 > 0$, значит $x \neq 0$. 6. $-\sin(-810^\circ) - 3\cos(2\pi) = -(-\sin(810^\circ)) - 3(1) = \sin(720^\circ + 90^\circ) - 3 = \sin(90^\circ) - 3 = 1 - 3 = -2$. 7. Точка пересечения: $-2x + 1 = \log_3(x)$. Решается графически или подбором. При $x=1$, $y=-2(1)+1 = -1$, $\log_3(1) = 0$. Не подходит. При $x \approx 0,66$ функции равны. 9. $\cos(3x) = -0,5 \Rightarrow 3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$. 10. $g(x) = 3x^2 - 2x + 4$. Это парабола, ветви вверх. Минимум в вершине: $x_v = -b/(2a) = 2/6 = 1/3$. $y_v = g(1/3) = 3(1/9) - 2(1/3) + 4 = 1/3 - 2/3 + 4 = 3,66$. 11. Пусть ребро $x$. $x^3 \cdot 125 = (x+1)^3$. $5x = x + 1 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = 0,25$ м.