Экзаменационный билет №6. Часть 1. 1. Постройте график функции и выпишите интервалы возрастания: у = (х-2)^2-4

Привет! Давай разберем твои задания по алгебре. 1. Постройте график функции $y = (x - 2)^2 - 4$. Это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Вершина в точке $(2; -4)$. 2. Найдите область определения функции $y = \sqrt{4x - 42}$. Выражение под корнем должно быть $\ge 0$: $4x - 42 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 42 \Rightarrow x \ge 10,5$. Область определения: $[10,5; +\infty)$. 3. Решите уравнения: а) $2^x = 32 \Rightarrow 2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$. б) $(\frac{1}{2})^x = 64 \Rightarrow (2^{-1})^x = 2^6 \Rightarrow -x = 6 \Rightarrow x = -6$. 4. Решите уравнение $\log_6(3x + 1) = \log_6(5x + 15)$. Приравниваем аргументы: $3x + 1 = 5x + 15$. $-2x = 14 \Rightarrow x = -7$. Проверка: под знаком логарифма при $x=-7$ получится отрицательное число, значит корней нет. 5. Переведите: а) $\frac{16^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{4\pi}{45}$ радиан. б) $\frac{5\pi}{9} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$. 6. Найдите предел функции $\lim_{x \to 2} (5x^2 - 6x^3 + 1) = 5(2^2) - 6(2^3) + 1 = 5 \cdot 4 - 6 \cdot 8 + 1 = 20 - 48 + 1 = -27$. 7. $y = 4x^3 - 8x^2 + 6x - 1$. Производная $y' = 12x^2 - 16x + 6$. В точке $x = 1$: $y'(1) = 12(1)^2 - 16(1) + 6 = 12 - 16 + 6 = 2$. 8. $y = 2x - 8x^2$. Производная $y' = 2 - 16x$. Функция возрастает, когда $y' > 0$: $2 - 16x > 0 \Rightarrow 16x < 2 \Rightarrow x < \frac{1}{8}$. Возрастает на $(-\infty; 0,125]$. 9. $y = 8x^2 + 32x - 6$. Производная $y' = 16x + 32$. Приравниваем к нулю: $16x + 32 = 0 \Rightarrow x = -2$. Это точка минимума (ветви параболы вверх). 10. $\int_{0}^{2} (2x + 9) dx = [x^2 + 9x]_0^2 = (2^2 + 9 \cdot 2) - (0) = 4 + 18 = 22$.