Вопрос:

5.2. Порівняйте числа log24 72 і log12 18.

Фотография

Ответ ассистента

Для сравнения чисел $a = \log_{24} 72$ и $b = \log_{12} 18$ воспользуемся определением логарифма и свойствами преобразования: 1. Преобразуем каждое выражение: $\log_{24} 72 = \log_{24} (24 \cdot 3) = \log_{24} 24 + \log_{24} 3 = 1 + \log_{24} 3$ $\log_{12} 18 = \log_{12} (12 \cdot 1,5) = \log_{12} 12 + \log_{12} 1,5 = 1 + \log_{12} 1,5$ 2. Теперь нам нужно сравнить $\log_{24} 3$ и $\log_{12} 1,5$. Воспользуемся формулой перехода к другому основанию: $\log_{24} 3 = \frac{1}{\log_3 24} = \frac{1}{\log_3 (3 \cdot 8)} = \frac{1}{1 + \log_3 8} = \frac{1}{1 + 3\log_3 2}$ $\log_{12} 1,5 = \frac{1}{\log_{1,5} 12} = \frac{1}{\log_{1,5} (1,5 \cdot 8)} = \frac{1}{1 + \log_{1,5} 8} = \frac{1}{1 + \log_{1,5} (2^3)} = \frac{1}{1 + 3\log_{1,5} 2}$ Поскольку $1,5 < 3$, то $\log_{1,5} 2 > \log_3 2$. Значит, знаменатель во втором случае больше, а сама дробь меньше. Следовательно: $1 + \log_{24} 3 > 1 + \log_{12} 1,5$ Ответ: $\log_{24} 72 > \log_{12} 18$.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи