Упростить выражение: $\frac{\sqrt[4]{36} \cdot \sqrt[3]{500}}{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt{3}}$.

Для упрощения выражения приведем все корни к общему показателю корня. Исходное выражение: $\frac{\sqrt[4]{36} \cdot \sqrt[3]{500}}{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt{3}}$ 1. Представим числа под корнями в виде степеней простых чисел: $36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$ $500 = 5^3 \cdot 4 = 5^3 \cdot 2^2$ Выражение принимает вид: $\frac{\sqrt[4]{2^2 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[3]{5^3 \cdot 2^2}}{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[4]{2^2} \cdot \sqrt[4]{3^2} \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{1/2}} = \frac{2^{2/4} \cdot 3^{2/4} \cdot 5 \cdot 2^{2/3}}{2^{1/6} \cdot 3^{1/2}}$ 2. Упростим показатели степеней: $\frac{2^{1/2} \cdot 3^{1/2} \cdot 5 \cdot 2^{2/3}}{2^{1/6} \cdot 3^{1/2}}$ 3. Сократим $3^{1/2}$ в числителе и знаменателе: $\frac{2^{1/2} \cdot 5 \cdot 2^{2/3}}{2^{1/6}} = 5 \cdot 2^{(1/2 + 2/3 - 1/6)}$ 4. Приведем дробь в показателе к общему знаменателю (6): $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ Получаем: $5 \cdot 2^1 = 10$ **Ответ: 10**