3.Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда

Для решения задачи используем признак Даламбера. Общий член ряда $u_n = \frac{(x-7)^n}{7^n (n+1)}$. 1. Найдем радиус сходимости $R$: Используем предел отношения модулей соседних членов: $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-7)^{n+1}}{7^{n+1} (n+2)} \cdot \frac{7^n (n+1)}{(x-7)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-7) (n+1)}{7 (n+2)} \right| = \frac{|x-7|}{7} \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = \frac{|x-7|}{7}$ Ряд сходится, если $\frac{|x-7|}{7} < 1 \Rightarrow |x-7| < 7$. Отсюда радиус сходимости $R = 7$. 2. Найдем интервал сходимости: $|x-7| < 7 \Rightarrow -7 < x-7 < 7 \Rightarrow 0 < x < 14$. Интервал сходимости: $(0, 14)$. 3. Исследуем поведение на концах интервала (область сходимости): - При $x = 0$: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(0-7)^n}{7^n (n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 7^n}{7^n (n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}$. Это знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница. - При $x = 14$: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(14-7)^n}{7^n (n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^n}{7^n (n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}$. Это гармонический ряд, он расходится. **Ответ:** Радиус сходимости $R=7$, интервал сходимости $(0, 14)$, область сходимости $[0, 14)$.