Невесомый стержень с закреплёнными на нём одинаковыми грузами на расстояниях 40 и 30 см от оси вращения, может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О, как показано на рисунке. Стержень переводят в горизонтальное положение, как показано на рисунке, и отпускают.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При повороте стержня из горизонтального положения (в котором его отпустили) в нижнее (положение равновесия) потенциальная энергия системы переходит в кинетическую энергию вращения. Дано: $l_1 = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$ $l_2 = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$ Массы грузов одинаковы: $m_1 = m_2 = m$ 1. Изменение потенциальной энергии: При повороте стержня на угол 90° груз на плече $l_1$ опускается вниз на $l_1$, а груз на плече $l_2$ поднимается вверх на $l_2$ (или наоборот, в зависимости от направления вращения, но так как массы одинаковы, нас интересует разность потенциальных энергий). Изменение потенциальной энергии системы: $\Delta E_p = m g l_1 - m g l_2 = m g (l_1 - l_2)$ 2. Кинетическая энергия вращения: В положении равновесия система обладает кинетической энергией: $E_k = \frac{I \omega^2}{2}$ где $I$ — момент инерции системы: $I = m l_1^2 + m l_2^2 = m(l_1^2 + l_2^2)$. 3. Закон сохранения энергии: $m g (l_1 - l_2) = \frac{m(l_1^2 + l_2^2) \omega^2}{2}$ Сокращаем на массу $m$ и выражаем $\omega$: $g(l_1 - l_2) = \frac{(l_1^2 + l_2^2) \omega^2}{2}$ $\omega^2 = \frac{2g(l_1 - l_2)}{l_1^2 + l_2^2}$ $\omega = \sqrt{\frac{2g(l_1 - l_2)}{l_1^2 + l_2^2}}$ Подставим значения ($g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$): $\omega = \sqrt{\frac{2 \cdot 9,8 \cdot (0,4 - 0,3)}{0,4^2 + 0,3^2}} = \sqrt{\frac{19,6 \cdot 0,1}{0,16 + 0,09}} = \sqrt{\frac{1,96}{0,25}} = \sqrt{7,84} = 2,8 \text{ рад/с}$ **Ответ: 2,8 рад/с**