БИЛЕТ №1 1. Вычислите: 3 sin п/6 + 2 cos п/6 - tg п/3

Привет! Давай разберем задания из билета №1. **1. Вычислите:** $3 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos \frac{\pi}{6} - \text{tg} \frac{\pi}{3} = 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = 1,5 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 1,5$ **2. Упростите выражение:** $\frac{25^{0,6} \cdot 5^{1,2}}{125^{0,4} \cdot 5^{0,8}} = \frac{(5^2)^{0,6} \cdot 5^{1,2}}{(5^3)^{0,4} \cdot 5^{0,8}} = \frac{5^{1,2} \cdot 5^{1,2}}{5^{1,2} \cdot 5^{0,8}} = \frac{5^{1,2}}{5^{0,8}} = 5^{1,2-0,8} = 5^{0,4} = \sqrt[5]{5^2} = \sqrt[5]{25}$ **3. Вычислите:** $\log_{15} 5 + \log_{15} 3 = \log_{15} (5 \cdot 3) = \log_{15} 15 = 1$ **4. Вычислите:** $\frac{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[12]{5}} = \frac{5^{1/3} \cdot 5^{1/4}}{5^{1/12}} = 5^{1/3 + 1/4 - 1/12} = 5^{4/12 + 3/12 - 1/12} = 5^{6/12} = 5^{1/2} = \sqrt{5}$ **5. Решите показательное уравнение:** $2^{x+3} = 16 \Rightarrow 2^{x+3} = 2^4 \Rightarrow x+3 = 4 \Rightarrow x = 1$ **6. Решите тригонометрическое уравнение:** $\sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ **7. Решите неравенство:** $(\frac{2}{5})^{3x+4} \le \frac{49}{25} \Rightarrow (\frac{2}{5})^{3x+4} \le (\frac{7}{5})^2$. *Внимание: основы разные. Вероятно, опечатка в условии (должно быть $(2/5)^2 = 4/25$ вместо $49/25$). Если допустить опечатку и решать как $(\frac{2}{5})^{3x+4} \le (\frac{2}{5})^2$:* $3x+4 \ge 2 \Rightarrow 3x \ge -2 \Rightarrow x \ge -2/3$ **8. Решите тригонометрическое уравнение:** $\sin(3x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 3x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{9} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$ **9. Решите показательное уравнение:** $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Пусть $2^x = t, t > 0$. $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета $t_1=1, t_2=4$. 1) $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$ 2) $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ Ответ: 0; 2. **10. Решите тригонометрическое уравнение:** $\cos 5x \cos x - \sin 5x \sin x = -1$. Используем формулу косинуса суммы: $\cos(5x+x) = -1 \Rightarrow \cos 6x = -1 \Rightarrow 6x = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$