Интеграл (3/x^3 - 2e^x + 1/(1+x^2)) dx равен:

Question

Вопрос:

Интеграл (3/x^3 - 2e^x + 1/(1+x^2)) dx равен:

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для того чтобы найти интеграл, воспользуемся линейностью интеграла и табличными формулами: $$\int \left( \frac{3}{x^3} - 2e^x + \frac{1}{1+x^2} \right) dx = \int 3x^{-3} dx - \int 2e^x dx + \int \frac{1}{1+x^2} dx$$ Применим правила интегрирования: 1) $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ 2) $\int e^x dx = e^x + C$ 3) $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \text{arctg } x + C$ Вычисляем каждый член: - $\int 3x^{-3} dx = 3 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{3}{2x^2}$ *(Ожидайте, перепроверим варианты ответов. В вариантах указано $x^4$. Похоже, в условии опечатка в степени $x$, либо там $x^5$ под интегралом, либо ответ не совпадает с классическим расчетом для $x^3$. Давайте посмотрим на $x^4$ в знаменателе: $\int 3x^{-5} dx = 3 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{3}{4x^4}$. Значит, в условии подразумевался интеграл от $3x^{-5}$, то есть $\int \frac{3}{x^5} dx$. Если же решать в точности по тексту $3/x^3$, то результат $-\frac{3}{2x^2} - 2e^x + \text{arctg } x + C$. Однако в тестах часто встречаются опечатки. Посмотрим на варианты: там везде $-\frac{3}{4x^4}$. Это производная от интеграла $\int \frac{3}{x^5} dx$. Исходя из вариантов ответа, верный вариант — **b**.)* **Ответ: b**

Интеграл (3/x^3 - 2e^x + 1/(1+x^2)) dx равен:

Ответ ассистента

Другие решения