4.273. Расстояния от вершин A и C треугольника ABC до касательной к его описанной окружности в точке B равны a и c. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную из вершины B.

Пусть $h$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $B$. Пусть $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Обозначим углы треугольника при вершинах $A$ и $C$ как $\alpha$ и $\gamma$ соответственно. Расстояние от вершины $A$ до касательной в точке $B$ равно $h_A = AB \cdot \sin(\angle (AB, \text{касательная}))$. Угол между хордой $AB$ и касательной к окружности в точке $B$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, то есть углу $C$ (обозначим $\gamma$). Аналогично, угол между хордой $BC$ и касательной равен углу $A$ (обозначим $\alpha$). Тогда: 1) $a = AB \cdot \sin \gamma$ 2) $c = BC \cdot \sin \alpha$ Из теоремы синусов в треугольнике $ABC$ имеем $AB = 2R \sin \gamma$ и $BC = 2R \sin \alpha$. Подставим это в выражения: $a = (2R \sin \gamma) \cdot \sin \gamma = 2R \sin^2 \gamma$ $c = (2R \sin \alpha) \cdot \sin \alpha = 2R \sin^2 \alpha$ Высота $h$ из вершины $B$ выражается через стороны и синусы углов: $h = AB \sin \alpha = BC \sin \gamma$. Перемножим эти два выражения для $h$: $h^2 = (AB \sin \alpha) \cdot (BC \sin \gamma) = (AB \sin \gamma) \cdot (BC \sin \alpha)$ Так как $a = AB \sin \gamma$ и $c = BC \sin \alpha$, получаем: $h^2 = a \cdot c$ $h = \sqrt{ac}$ **Ответ:** $\sqrt{ac}$