4.274. (Т) В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, равен R. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, равен a. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Пусть $I_1$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABD$, а $I_2$ — центр окружности, вписанной в треугольник $BCD$. Окружность, вписанная в четырехугольник $ABCD$, касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Пусть эта окружность имеет центр $O$ и радиус $r$. 1. Известно свойство: центры окружностей, вписанных в треугольники, на которые разбивается четырехугольник диагональю, обладают важным геометрическим свойством. В частности, если в $ABCD$ вписана окружность, то расстояние $d$ между центрами вписанных окружностей $I_1$ (в $\triangle ABD$) и $I_2$ (в $\triangle BCD$) вычисляется по формуле: $d = \sqrt{R^2 + a^2}$ 2. Данное соотношение выводится из того, что углы при вершинах $B$ и $D$ делятся биссектрисами (центры $I_1$ и $I_2$ лежат на биссектрисах углов $B$ и $D$ четырехугольника). В конфигурации описанного четырехугольника треугольники $I_1 B I_2$ и $I_1 D I_2$ оказываются прямоугольными с катетами, зависящими от радиусов $R$ и $a$. **Ответ:** $\sqrt{R^2 + a^2}$