4.276. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большом основании трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание ($AD = 20$), $BC$ — меньшее основание ($BC = 12$). Центр описанной окружности $O$ лежит на основании $AD$. Так как трапеция равнобедренная, центр окружности совпадает с серединой основания $AD$. 1. Радиус описанной окружности $R$ равен половине большого основания: $R = \frac{AD}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. 2. Точки $A, B, C, D$ лежат на окружности. $OA = OB = OC = OD = R = 10$ см. Так как $O$ — середина $AD$, то $AO = OD = 10$. 3. Рассмотрим треугольник $OBC$. Это равнобедренный треугольник, где $OB = OC = 10$ и $BC = 12$. Опустим высоту $OK$ из точки $O$ на $BC$. Тогда $BK = KC = 6$. По теореме Пифагора из треугольника $OKB$: $OK = \sqrt{OB^2 - BK^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$. Высота $OK = 8$ см. 4. Теперь рассмотрим треугольник $ABH$, где $BH$ — высота трапеции. $BH = OK = 8$ см. Отрезок $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = 4$ см. 5. Боковая сторона $AB$: по теореме Пифагора из треугольника $ABH$: $AB = \sqrt{BH^2 + AH^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. 6. Диагональ $AC$: по теореме Пифагора из треугольника $ACH$, где $CH = 8$ (высота) и $AH = AD - HD = 20 - \frac{20-12}{2} = 20 - 4 = 16$ см: $AC = \sqrt{CH^2 + AH^2} = \sqrt{8^2 + 16^2} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$ см. **Ответ: боковая сторона равна $4\sqrt{5}$ см, диагональ равна $8\sqrt{5}$ см.**