Найдите производную функции: y = 3x^2-4x / x^3+2

Привет! Давай разберем твои задания по порядку. 1. Производная функции $y = \frac{3x^2-4x}{x^3+2}$: Используем формулу производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \frac{(6x-4)(x^3+2) - (3x^2-4x)(3x^2)}{(x^3+2)^2} = \frac{6x^4 + 12x - 4x^3 - 8 - 9x^4 + 12x^3}{(x^3+2)^2} = \frac{-3x^4 + 8x^3 + 12x - 8}{(x^3+2)^2}$. 2. Скорость и ускорение: $v(t) = S'(t) = t^2 + t + 8$. $v(4) = 4^2 + 4 + 8 = 28$ м/с. $a(t) = v'(t) = 2t + 1$. $a(4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ м/с$^2$. 3. Монотонность $y = x^2 + 6x + 1$: $y' = 2x + 6$. При $2x + 6 > 0$ ($x > -3$) функция возрастает. При $2x + 6 < 0$ ($x < -3$) функция убывает. 4. Частное комплексных чисел: $?rac{z_1}{z_2} = ?rac{18}{6} (\cos(195^\circ - 70^\circ) + i \sin(195^\circ - 70^\circ)) = 3(\cos 125^\circ + i \sin 125^\circ)$. 5. Вычисления: а) $(10^{-17} \cdot 10^{10})^{-1} = (10^{-7})^{-1} = 10^7$. б) $\log_{49}35 - \log_{49}5 = \log_{49}(\frac{35}{5}) = \log_{49}7 = \frac{1}{2}$. в) $4^{3+\log_{16}9} + (\frac{1}{36})^{\log_6 2} = 64 \cdot 4^{\log_{4^2}9} + (6^{-2})^{\log_6 2} = 64 \cdot 4^{\frac{1}{2}\log_4 9} + 6^{-2\log_6 2} = 64 \cdot 3 + 2^{-2} = 192 + 0.25 = 192.25$. 6. Уравнения: а) $\sqrt{x-10} = 5 \Rightarrow x-10 = 25 \Rightarrow x = 35$. б) $7^{x+8} = 49 = 7^2 \Rightarrow x+8 = 2 \Rightarrow x = -6$. в) $\log_2(2x+10) = 4 \Rightarrow 2x+10 = 2^4 = 16 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. 7. Неравенства: а) $(\frac{1}{3})^{x-2} \le \frac{1}{81} \Rightarrow 3^{-(x-2)} \le 3^{-4} \Rightarrow -x+2 \le -4 \Rightarrow x \ge 6$. б) $\log_2(3x-7) > 3 \Rightarrow 3x-7 > 8 \Rightarrow 3x > 15 \Rightarrow x > 5$. 8. Интеграл: $\int (10x^4 + 8x^{-5} - 5) dx = 10 \cdot \frac{x^5}{5} + 8 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} - 5x + C = 2x^5 - \frac{2}{x^4} - 5x + C$. 9. Цилиндр: $V = \pi R^2 H = \pi \cdot 12^2 \cdot 8 = 1152\pi$ см$^3$. $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 2\pi \cdot 144 + 2\pi \cdot 12 \cdot 8 = 288\pi + 192\pi = 480\pi$ см$^2$. 10. Вероятность: $P = \frac{100-15}{100} = \frac{85}{100} = 0.85$. Дополнительная часть: 1. $y' = 4x^3 - 6x^2 - 24x$; $y'' = 12x^2 - 12x - 24$. $12(x^2 - x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -1$. 2. $y'(x) = 8x + 3$. В $x_0 = 3$: $y(3) = 4(9) + 3(3) - 9 = 36+9-9 = 36$. $y'(3) = 8(3)+3 = 27$. Уравнение: $y - 36 = 27(x-3) \Rightarrow y = 27x - 45$. 3. $\log_2((x-2)(x+1)) = 2 \Rightarrow x^2-x-2 = 4 \Rightarrow x^2-x-6 = 0$. Корни $3$ и $-2$. ОДЗ $x>2$, ответ $x=3$. 4. $u = x^2+1, du = 2xdx$. $\int \frac{16 du}{u^5} = 16 \cdot \frac{u^{-4}}{-4} = -4(x^2+1)^{-4} \Big|_0^{\sqrt{3}} = -4(\frac{1}{16} - 1) = 3.75$. 5. $\sqrt{(2x)^2+(3x)^2+(6x)^2} = 35 \Rightarrow \sqrt{49x^2} = 35 \Rightarrow 7x = 35 \Rightarrow x = 5$. Стороны: $10, 15, 30$. $V = 10 \cdot 15 \cdot 30 = 4500$ см$^3$. $S = 2(150 + 450 + 300) = 1800$ см$^2$.