13. В угол С величиной 18° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Давай разберем эти геометрические задачи: ### Задача 13 В четырехугольнике $CAOВ$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны $90^\circ$ (так как радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной). Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Угол $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 18^\circ = 162^\circ$. **Ответ: 162** ### Задача 14 Углы $\angle NBA$ и $\angle NMA$ опираются на одну и ту же дугу $AN$. По свойству вписанных углов они равны. Однако, здесь нужно найти $\angle NMB$. Точки $M$ и $N$ лежат по разные стороны от диаметра $AB$. Угол $\angle NMB$ опирается на дугу $NB$, а угол $\angle NBA$ (по условию $41^\circ$) — это часть треугольника $\triangle NBA$. Но так как $AB$ — диаметр, то $\angle ANB = 90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр). В $\triangle ANB$ угол $\angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$. Угол $\angle NMB$ также опирается на дугу $NB$, как и угол $\angle NAB$, но точки лежат по разные стороны. Заметим, что $\angle NMB$ и $\angle NAB$ опираются на разные дуги, связанные с диаметром. Правильный подход: $\angle NMB$ опирается на дугу $NB$, а $\angle NAB$ опирается на дугу $NB$. Поэтому $\angle NMB = \angle NAB = 49^\circ$. **Ответ: 49** ### Задача 15 Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $\angle ABC$ состоит из суммы углов $\angle ABD + \angle DBC$. Угол $\angle DBC$ опирается на ту же дугу, что и угол $\angle CAD$ (дуга $CD$). Значит, $\angle DBC = \angle CAD = 42^\circ$. Тогда $\angle ABC = 51^\circ + 42^\circ = 93^\circ$. **Ответ: 93**