Для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^2+5}$ выбран ряд-эталон $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ и вычислен предел $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$. Известно, что ряд-эталон сходится. Что можно заключить о поведении исходного ряда на основании предельного признака сравнения?

Question

Вопрос:

Для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^2+5}$ выбран ряд-эталон $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ и вычислен предел $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$. Известно, что ряд-эталон сходится. Что можно заключить о поведении исходного ряда на основании предельного признака сравнения?

$Для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^2+5}$ выбран ряд-эталон $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ и вычислен предел $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$. Известно, что ряд-эталон сходится. Что можно заключить о поведении исходного ряда на основании предельного признака сравнения?$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся предельным признаком сравнения. Согласно этому признаку, если $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$, где $0 < L < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся. В нашем случае: 1. $a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2+5}$ 2. $b_n = \frac{1}{n^{3/2}}$ 3. Предел $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$, что является конечным числом, отличным от нуля. 4. Ряд-эталон $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ является обобщенным гармоническим рядом с показателем степени $p = 3/2 > 1$, а значит, он сходится. Так как предел равен 1 (конечное положительное число), то исходный ряд ведет себя так же, как и эталонный. Поскольку эталонный ряд сходится, то и исходный ряд сходится. **Ответ: d. Исходный ряд сходится.**

Ответ ассистента

Другие решения