Используя свойства неопределенного интеграла, преобразуйте выражение ∫ (5/x^3 - 3 sin x + π) dx . Какой набор действий и результат являются правильными?

Question

Вопрос:

Используя свойства неопределенного интеграла, преобразуйте выражение ∫ (5/x^3 - 3 sin x + π) dx . Какой набор действий и результат являются правильными?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения этого интеграла воспользуемся свойством линейности: интеграл суммы равен сумме интегралов, а константу можно выносить за знак интеграла. $$\int (\frac{5}{x^3} - 3 \sin x + \pi) \, dx = \int 5x^{-3} \, dx - \int 3 \sin x \, dx + \int \pi \, dx$$ Выносим константы: $$5 \int x^{-3} \, dx - 3 \int \sin x \, dx + \pi \int dx$$ Теперь применяем табличные формулы: 1. $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n \neq -1$. Здесь $n = -3$, значит $\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$. 2. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$. 3. $\int dx = x + C$. Вычисляем: $$5 \cdot \left( -\frac{1}{2x^2} \right) - 3 \cdot (-\cos x) + \pi \cdot x + C = -\frac{5}{2x^2} + 3 \cos x + \pi x + C$$ **Результат:** $-\frac{5}{2x^2} + 3 \cos x + \pi x + C$.

Используя свойства неопределенного интеграла, преобразуйте выражение ∫ (5/x^3 - 3 sin x + π) dx . Какой набор действий и результат являются правильными?

Ответ ассистента

Другие решения