40. Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.

Для решения задачи нужно приравнять площадь поверхности цилиндрического стакана к площади круглого листа металла, из которого он сделан. Стакан состоит из дна (круг) и боковой поверхности (прямоугольник, свернутый в цилиндр). 1. Радиус стакана: $r = \frac{25}{2} = 12,5$ см. 2. Площадь дна стакана: $S_{основания} = \pi r^2 = \pi \cdot (12,5)^2 = 156,25\pi$ см$^2$. 3. Площадь боковой поверхности стакана: $S_{боковая} = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 12,5 \cdot 50 = 1250\pi$ см$^2$. 4. Общая площадь поверхности стакана: $S_{стакана} = 156,25\pi + 1250\pi = 1406,25\pi$ см$^2$. 5. Площадь круглого листа радиусом $R$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Так как площадь листа равна площади стакана: $\pi R^2 = 1406,25\pi$ $R^2 = 1406,25$ $R = \sqrt{1406,25} = 37,5$ см. 6. Диаметр листа равен $2R$: $D = 2 \cdot 37,5 = 75$ см. Ответ: 75 см.