1. В треугольнике ABC AC = BC = 7, tgA = 33 / (4 * sqrt(33)). Найдите AB.

1. **Решение:** В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC=7$) высота $CH$ является также медианой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике $AHC$ (угол $H=90^\circ$): $\text{tg}A = \frac{CH}{AH} = \frac{33}{4\sqrt{33}}$. Пусть $CH = 33k$, $AH = 4\sqrt{33}k$. По теореме Пифагора $AC^2 = CH^2 + AH^2$: $49 = (33k)^2 + (4\sqrt{33}k)^2 = 1089k^2 + 528k^2 = 1617k^2$. Тогда $k^2 = \frac{49}{1617} = \frac{1}{33}$, откуда $k = \frac{1}{\sqrt{33}}$. $AH = 4\sqrt{33} \cdot \frac{1}{\sqrt{33}} = 4$. Так как $H$ - середина $AB$, то $AB = 2 \cdot AH = 8$. **Ответ: 8.** 2. **Решение:** Разность векторов $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Модуль этого вектора равен длине диагонали $BD$. Так как диагонали ромба равны 12 и 16, и на рисунке $BD$ выглядит как длинная диагональ, принимаем $BD=16$. **Ответ: 16.** 3. **Решение:** Объем $V = S_{осн} \cdot h$. Ребро, перпендикулярное грани, — это высота параллелепипеда. $60 = 12 \cdot h \Rightarrow h = 5$. **Ответ: 5.** 4. **Решение:** События «диаметр меньше 66,99 мм» или «больше 67,01 мм» — это дополнение к событию «отклоняется не более чем на 0,01 мм» (т.е. лежит в диапазоне $[66,99; 67,01]$). Вероятность этого дополнения: $1 - 0,965 = 0,035$. **Ответ: 0,035.** 5. **Решение:** $\sqrt{3x - 8} = 5 \Rightarrow 3x - 8 = 25 \Rightarrow 3x = 33 \Rightarrow x = 11$. **Ответ: 11.** 6. **Решение:** Пусть $v$ — скорость теплохода. Время в пути: $34 - 2 = 32$ часа. Уравнение движения: $\frac{255}{v+1} + \frac{255}{v-1} = 32$. $255(v-1 + v+1) = 32(v^2 - 1) \Rightarrow 510v = 32v^2 - 32 \Rightarrow 16v^2 - 255v - 16 = 0$. Дискриминант $D = 255^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-16) = 65025 + 1024 = 66049 = 257^2$. $v = \frac{255 + 257}{32} = \frac{512}{32} = 16$. **Ответ: 16.** 7. **Решение:** Производная $y' = -9\sin(x) + 14$. Так как $-9\sin(x) \geq -9$, то $y' \geq 5 > 0$. Функция возрастает на всей области определения. Минимум достигается в левой точке отрезка $x=0$. $y(0) = 9\cos(0) + 14(0) + 7 = 9 + 7 = 16$. **Ответ: 16.** 8. **Решение:** Объем тела вращения: $V = \pi \int_{0}^{2} (2 - 0,5x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} (4 - 2x^2 + 0,25x^4) dx = \pi [4x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{20}x^5]_0^2$. $V = \pi [8 - \frac{16}{3} + \frac{32}{20}] = \pi [8 - \frac{16}{3} + \frac{8}{5}] = \pi [\frac{120 - 80 + 24}{15}] = \frac{64\pi}{15}$. **Ответ: $\frac{64\pi}{15}$.**