В параллелограмме MNPRQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Question

Вопрос:

В параллелограмме MNPRQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи в параллелограмме $MNPQ$ (опечатка в условии $MNPRQ$, так как у параллелограмма 4 вершины) рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNH$ (так как $NH \perp MQ$): 1. В треугольнике $\triangle MNH$: $\angle MHN = 90^\circ$, $\angle MNH = 30^\circ$, катет $MH = 3$ см. 2. Найдём сторону $MN$. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos(\angle MNH) = \frac{NH}{MN}$ или используем свойство угла $30^\circ$: катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы, но здесь $MH$ лежит против угла $N$, значит $MN = 2 \cdot MH = 2 \cdot 3 = 6$ см. 3. Сторона $PQ = MN = 6$ см (противоположные стороны параллелограмма). 4. Найдём $NH$. По теореме Пифагора: $NH = \sqrt{MN^2 - MH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см. 5. Найдём сторону $MQ$. Точка $H$ лежит на $MQ$, значит $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см. 6. Сторона $NP = MQ = 8$ см (противоположные стороны). 7. Найдём углы. В $\triangle MNH$: $\angle M = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 8. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $\angle M = \angle P = 60^\circ$ $\angle N = \angle Q = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ **Ответ:** Стороны 6 см и 8 см, углы 60° и 120°.

Ответ ассистента

Другие решения