Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Question

Вопрос:

Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для доказательства теоремы Фалеса рассмотрим две прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $O$ (или параллельные, случай пересечения — основной). **Дано:** 1. Прямые $a$ и $b$. 2. На прямой $a$ отложены равные отрезки: $A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_{n+1}$. 3. Через точки $A_1, A_2, ..., A_{n+1}$ проведены параллельные прямые, пересекающие прямую $b$ в точках $B_1, B_2, ..., B_{n+1}$. **Требуется доказать:** $B_1B_2 = B_2B_3 = ... = B_nB_{n+1}$. **Доказательство:** 1. Проведем через точки $A_1, A_2, ..., A_n$ прямые, параллельные прямой $b$. 2. Получим серию параллелограммов (например, $A_1A_2B_2B_1$, $A_2A_3B_3B_2$). В параллелограммах противоположные стороны равны, следовательно, $A_1A_2 = B_1B_2$, $A_2A_3 = B_2B_3$ и так далее. 3. Так как по условию $A_1A_2 = A_2A_3 = ...$, то и соответствующие им отрезки $B_1B_2 = B_2B_3 = ...$ также равны. Теорема доказана.

Ответ ассистента

Другие решения