В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Какому условию должны удовлетворять стороны BC и AD, чтобы четырёхугольник ABCD был параллелограммом?

Решение задач: 28. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Чтобы четырёхугольник ABCD был параллелограммом, стороны AB и CD должны быть параллельны (так как по признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то он — параллелограмм). Следовательно, BC должна быть параллельна AD. 29. Дано: AO = OC, ∠BAC = ∠ACD. Доказать: ABCD — параллелограмм. Доказательство: 1. Рассмотрим ΔABC и ΔCDA. У них AO = OC (по условию), AC — общая сторона. 2. ∠BAC = ∠ACD (по условию), эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Следовательно, AB || CD. 3. Так как ΔABO = ΔCDO (по стороне и двум прилежащим углам или по двум сторонам и углу между ними, так как ∠AOB = ∠COD как вертикальные), то AB = CD. 4. Так как AB = CD и AB || CD, то по признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм. 30. Дано: AFCE — параллелограмм, FB = ED. Доказать: ABCD — параллелограмм. Доказательство: 1. Так как AFCE — параллелограмм, то AE || FC и AE = FC. 2. Точки B, F, E, D лежат на одной прямой (исходя из условия построения). Но правильнее сказать: так как AFCE — параллелограмм, его диагонали EF и AC делятся точкой пересечения пополам. Пусть K — точка пересечения AC и EF. Тогда AK = KC и FK = KE. 3. Так как FB = ED и FK = KE, то BK = KD (сложение отрезков FB+FK=BK и ED+EK=KD). 4. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K, которая делит их пополам (AK=KC, BK=KD). Следовательно, ABCD — параллелограмм. 31. Дано: AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1. AC1 = 18 см, A1C = 10 см. Найти: BB1. Решение: 1. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам. Значит, AC = A1C1. 2. AC1 = AC + CC1 = 18 см. 3. A1C = A1A + AC = 10 см. 4. Так как AC = A1C1, то AC1 - A1C1 = AC1 - AC = CC1 = 18 - AC. 5. Также A1A = A1C - AC = 10 - AC. 6. Из равенства треугольников следует, что AA1 = CC1 (так как A1C = AC1, вычитая общую часть A1C1 или AC, получаем равные отрезки). 7. BB1 = AC1 - (A1A + CC1) = 18 - 2 * A1A. Поскольку AC = A1C1, то A1A = CC1. Если A1C = 10 и AC1 = 18, то A1C1 + A1A = 18 и A1C1 + CC1 = 10... Это означает, что AC1 = AC + CC1 = 18, A1C = A1A + AC = 10. BB1 = AC1 - A1C1 = 18 - 10 = 8 см.