1.В равнобедренном треугольнике один из углов равен 100°. Сторона, лежащая напротив этого угла, равна 12 см. Найдите две другие стороны и площадь треугольника

Решение задач: 1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ (угол при вершине $B = 100^\circ$, основание $AC = 12$ см). Углы при основании: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 100^\circ) / 2 = 40^\circ$. По теореме синусов: $AC / \sin(100^\circ) = AB / \sin(40^\circ)$. $AB = BC = 12 \cdot \sin(40^\circ) / \sin(100^\circ) \approx 12 \cdot 0,6428 / 0,9848 \approx 7,83$ см. Площадь $S = 0,5 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(100^\circ) = 0,5 \cdot 7,83^2 \cdot 0,9848 \approx 30,22$ см$^2$. 2. Треугольник $ABC$, $\angle A = 45^\circ, \angle C = 55^\circ$, $BC = 9$ см. $\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 55^\circ = 80^\circ$. По теореме синусов: $BC / \sin(A) = AB / \sin(C) = AC / \sin(B)$. $AB = BC \cdot \sin(C) / \sin(A) = 9 \cdot \sin(55^\circ) / \sin(45^\circ) \approx 9 \cdot 0,819 / 0,707 \approx 10,43$ см. $AC = BC \cdot \sin(B) / \sin(A) = 9 \cdot \sin(80^\circ) / \sin(45^\circ) \approx 9 \cdot 0,985 / 0,707 \approx 12,54$ см. Площадь $S = 0,5 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(B) = 0,5 \cdot 10,43 \cdot 9 \cdot \sin(80^\circ) \approx 46,26$ см$^2$. 3. Треугольник $ABC$, $\angle A = 30^\circ, \angle C = 105^\circ$. $\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$. Задание не содержит данных о сторонах, поэтому решение возможно только в общем виде через одну сторону (например, $AB=c$). $BC = c \cdot \sin(30^\circ) / \sin(105^\circ) \approx 0,518c$. Площадь $S = 0,5 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(45^\circ)$. 4. Параллелограмм $ABCD$, $\angle A = 60^\circ, AB = 8$ см, диагональ $BD = 10$ см. По теореме косинусов для $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(60^\circ)$. $10^2 = 8^2 + AD^2 - 2 \cdot 8 \cdot AD \cdot 0,5$. $100 = 64 + AD^2 - 8 \cdot AD$. $AD^2 - 8 \cdot AD - 36 = 0$. Дискриминант $D = 64 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 64 + 144 = 208$. $AD = (8 + \sqrt{208}) / 2 = 4 + \sqrt{52} = 4 + 2\sqrt{13} \approx 11,21$ см. Площадь $S = AB \cdot AD \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot 11,21 \cdot 0,866 \approx 77,63$ см$^2$.