Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

504. Пусть прямоугольник $ABCD$ ($AB$ — ширина, $BC$ — длина). Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Треугольник $ABK$ равнобедренный ($AB = BK$), так как $\angle BAK = \angle KAD$ (биссектриса) и $\angle KAD = \angle AKB$ (накрест лежащие). Значит, $AB = BK$. а) $BK = 45,6$ см, $KC = 7,85$ см (или наоборот). Тогда $BC = AB + BC_{part} = 45,6 + 7,85 = 53,45$ см. Стороны прямоугольника: $45,6$ см и $53,45$ см. Периметр $P = 2 \cdot (45,6 + 53,45) = 2 \cdot 99,05 = 198,1$ см. б) $BC$ сторона прямоугольника. Если биссектриса делит сторону $CD$ (которая равна $AB$) в точках $M$, то $AM$ — биссектриса. Тогда $\triangle ADM$ — равнобедренный, $AD = DM$. $DM$ — часть стороны $DC$. Так как $DC$ — сторона прямоугольника, то $DC = AD$. Пусть $DM = 2,7$ дм, $MC = 4,5$ дм. Тогда $DC = 2,7 + 4,5 = 7,2$ дм. $AD = 7,2$ дм. $AB = 7,2$ дм. Стороны $7,2$ дм и $2,7$ дм. $P = 2 \cdot (7,2 + 2,7) = 2 \cdot 9,9 = 19,8$ дм. 505. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = OC = BO = OD$. В $\triangle AOD$ стороны $AO = OD$, значит, треугольник равнобедренный. В $\triangle AOB$ стороны $AO = BO$, значит, треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать. 506. $ABCD$ — прямоугольник, диагонали пересекаются в $O$. $\triangle AOB$ — равнобедренный ($AO = OB$), поэтому $\angle OAB = \angle OBA$. $\angle CAD = 30^\circ$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle CAD = \angle ACB = 30^\circ$. $\angle DAC + \angle CAB = 90^\circ$ (угол прямоугольника), значит $\angle CAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В $\triangle AOB$: $\angle OAB = 60^\circ$. Так как $\triangle AOB$ равнобедренный с углом $60^\circ$, он является равносторонним. Значит, $AO = BO = AB$. Так как $AC$ — диагональ, $AC = 12$ см, $AO = 6$ см. Тогда $AB = 6$ см. $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см. Периметр $P = 2 \cdot (6 + 6\sqrt{3}) = 12 + 12\sqrt{3} \approx 32,78$ см.