1. Найдите неизвестный угол x.

### I. Нахождение неизвестного угла x 1. **Верхний левый:** Угол $x$ — вписанный, опирается на ту же дугу, что и угол $40^\circ$. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Следовательно, $x = 40^\circ$. 2. **Верхний правый:** Угол $x$ — вписанный. Угол $112^\circ$ — это центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и $x$. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $x = 112^\circ / 2 = 56^\circ$. (Угол $46^\circ$ в условии является лишним данным для этой задачи). 3. **Нижний левый:** Угол $x$ — вписанный, опирается на дугу $MQ$. Дуга $MN$ ($200^\circ$) и $NQ$ связаны через общую окружность. Однако проще рассмотреть: вписанный угол $25^\circ$ опирается на дугу $NQ$. Значит, дуга $NQ = 25^\circ \cdot 2 = 50^\circ$. Весь круг $360^\circ$, значит дуга $MQ = 360^\circ - 200^\circ - 50^\circ = 110^\circ$. Угол $x$ опирается на дугу $MQ$, поэтому $x = 110^\circ / 2 = 55^\circ$. 4. **Нижний правый:** Угол $x$ — вписанный, опирается на дугу $KL$ (величина $77^\circ$). Значит, $x = 77^\circ / 2 = 38,5^\circ$. (Угол $143^\circ$ является лишним данным). ### Решение задач **3. Треугольник ABC вписан в окружность.** Угол $ACB$ — вписанный, а $\angle AOB$ — центральный, они опираются на одну дугу $AB$. Вписанный угол равен половине центрального. $\angle ACB = 47^\circ / 2 = 23,5^\circ$. **Ответ: 23,5** **4. Треугольник ABC вписан в окружность.** Аналогично задаче №3: $\angle ACB = \angle AOB / 2$. $\angle ACB = 113^\circ / 2 = 56,5^\circ$. **Ответ: 56,5** **5. Отрезки AC и BD — диаметры.** $\angle AOD$ и $\angle ACB$ опираются на разные дуги. Но $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные, $\angle AOD = \angle BOC$. Угол $\angle ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. Центральный угол для дуги $AB$ — это $\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$. Также $\angle ACB = 16^\circ$. Это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. Дуга $AB$ равна $2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$. Центральный угол $\angle AOB = 32^\circ$. Так как $AC$ — диаметр, $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$. **Ответ: 148** **6. Отрезки AC и BD — диаметры.** $\angle AOD = 50^\circ$. $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные, значит $\angle BOC = 50^\circ$. $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Дуга $AB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Вписанный угол $\angle ACB = 130^\circ / 2 = 65^\circ$. **Ответ: 65** **7. Точки M и N по разные стороны от диаметра AB.** $\angle NBA = 68^\circ$. Это вписанный угол, опирающийся на дугу $AN$. Дуга $AN = 2 \cdot 68^\circ = 136^\circ$. Угол $\angle NMB$ опирается на дугу $NB$. Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB = 180^\circ$. Дуга $NB = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$. Вписанный угол $\angle NMB = 44^\circ / 2 = 22^\circ$. **Ответ: 22**