Требуется найти количество троек чисел (a, b, c), таких что a, b, c являются положительными пятиугольными числами, не превосходящими 10^9, верно, что a <= b < c и выполняется равенство, аналогичное пифагоровым тройкам: a + b = c.

Для решения этой задачи сначала определим формулу пятиугольных чисел. n-е пятиугольное число $P_n$ вычисляется по формуле: $P_n = \frac{3n^2 - n}{2}$. **1. Анализ условия $a + b = c$** Нам нужно найти количество троек $(a, b, c)$, где $a, b, c$ — пятиугольные числа, $a + b = c$ и $c \le 10^9$. Сначала найдем максимальный индекс $n$ для $P_n \le 10^9$: $\frac{3n^2 - n}{2} \le 10^9 \Rightarrow 3n^2 - n - 2 \cdot 10^9 \le 0$. Решая квадратное уравнение $3n^2 - n - 2 \cdot 10^9 = 0$, получаем $n \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 10^9}{3}} \approx 25820$. Всего существует 25819 пятиугольных чисел в заданном диапазоне. **2. Решение для первой части** Нужно найти количество троек $(a, b, c)$, таких что $1 < a < b < c \le 10^9$ и $a + b = c$. Алгоритм: - Сгенерировать все пятиугольные числа $P_n$ до $10^9$ и сохранить их в хеш-таблицу (множество) для быстрой проверки существования. - Перебирать пары индексов $(i, j)$ с $1 < i < j$ (где $a = P_i, b = P_j$), вычислять $S = P_i + P_j$. - Проверять, является ли $S$ пятиугольным числом (т.е. есть ли $S$ в нашем множестве) и $S \le 10^9$. **3. Решение для второй части** Нужно найти количество троек $(a, b, c)$, таких что $1 < a = b < c \le 10^9$ и $a + b = c$. Это эквивалентно условию $2P_i = P_k$. - Перебирать все индексы $i$ от 2 до 25819. - Вычислять $2P_i$ и проверять, является ли результат пятиугольным числом (т.е. существует ли $k$, такое что $P_k = 2P_i$ и $P_k \le 10^9$). *Примечание:* Задача вычислительного характера. Точные значения можно получить написав скрипт на языке программирования, перебирающий индексы.