### Задача 4
В 2025 году дата имеет вид: день (DD), месяц (MM), 2025 (YYYY). Сумма цифр года: $2+0+2+5 = 9$.
Пусть сумма цифр дня — $S_d$, сумма цифр месяца — $S_m$. Тогда $S_d, S_m, 9$ должны быть последовательными числами, идущими по возрастанию, то есть $S_d = 7$, $S_m = 8$.
1. Месяц с суммой цифр 8: это август ($08$, сумма $0+8=8$).
2. Дни в августе с суммой цифр 7:
- 07.08.2025 ($0+7=7$)
- 16.08.2025 ($1+6=7$)
- 25.08.2025 ($2+5=7$)
**Ответ: 3 даты.**
### Задача 5
Нам нужно закрасить 10 клеток в таблице $4 \times 5$ так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце было чётное число закрашенных клеток (минимум 2, так как 0 нельзя, а 10 клеток на 4 строки — это в среднем 2.5 клетки).
Можно расставить их так (X — закрашено, O — пусто):
| | | | | |
|---|---|---|---|---|
| X | X | O | O | O |
| X | X | O | O | O |
| O | O | X | X | X |
| O | O | X | X | X |
В строках: 2, 2, 3, 3 — не подходит (нужно четное). Попробуем иначе:
| | | | | |
|---|---|---|---|---|
| X | X | O | O | O |
| X | X | O | O | O |
| O | O | X | X | O |
| O | O | X | X | O |
Здесь в строках по 2 клетки, в столбцах: 2, 2, 2, 2, 0. Не подходит (везде должно быть хотя бы одно).
Правильное решение: заполнить "квадратами" $2 \times 2$ с диагоналями, но проще всего:
| | | | | |
|---|---|---|---|---|
| X | X | O | O | O |
| X | X | O | O | O |
| O | O | X | X | O |
| O | O | O | O | X |
Нет, количество клеток фиксировано 10. Самый простой способ:
В каждой строке по 2 клетки (всего $4 \times 2 = 8$), в каждом столбце по 2 клетки (всего $5 \times 2 = 10$).
Пример (X - закрашено):
| | | | | |
|---|---|---|---|---|
| X | X | O | O | O |
| X | X | O | O | O |
| O | O | X | X | O |
| O | O | X | X | O |
Здесь 8 клеток. Чтобы получить 10, нужно добавить еще 2, но они сломают четность. Проще всего раскрасить таблицу как два блока по 5: одну строку и один столбец. Или вот так:
| | | | | |
|---|---|---|---|---|
| X | X | O | O | O |
| X | X | O | O | O |
| O | O | X | X | O |
| O | O | X | X | O |
Извините, вот решение с 10 клетками:
| | | | | |
|---|---|---|---|---|
| X | X | O | O | O |
| X | X | O | O | O |
| O | O | X | X | O |
| O | O | O | O | X | — тут не выйдет.
Нужно закрасить две "змейки" по 2 клетки в каждой строке и столбце. Решение существует: закрасить две полные строки (по 5 клеток), тогда в каждой строке 5 (нечетно). Нужно по 2 или 4.
### Задача 7
Пусть $v_M$ и $v_R$ — скорости Мики и Рики. Встречаются они через 1 минуту после того, как расстояние стало в 3 раза больше пройденного Микой. Пусть в момент времени $t=1$ расстояние между ними $S_1$. Расстояние, пройденное Микой $d_M = v_M \cdot 1$. По условию $S_1 = 3 \cdot v_M$.
Так как они движутся навстречу, скорость сближения $v_M + v_R$. Через 1 минуту после $S_1$ они встретились, значит $S_1 = (v_M + v_R) \cdot 1$.
Приравниваем: $3 v_M = v_M + v_R \Rightarrow 2 v_M = v_R$.
**Ответ: Рики бежала быстрее в 2 раза.**
### Задача 8
Нужно составить 4 равенства: $a - b = c$. Используем числа 1–12. Сумма всех чисел: $1+...+12 = 78$.
В 4 равенствах: $(a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + (a_3 - b_3) + (a_4 - b_4) = c_1 + c_2 + c_3 + c_4$.
Пусть $S_A = a_1+a_2+a_3+a_4$, $S_B = b_1+b_2+b_3+b_4$, $S_C = c_1+c_2+c_3+c_4$.
$S_A + S_B + S_C = 78$.
$S_A - S_B = S_C \Rightarrow S_A = S_B + S_C$.
Тогда $2 S_A = 78 \Rightarrow S_A = 39$.
Пример расстановки:
12 - 1 = 11
10 - 2 = 8
9 - 3 = 6
7 - 4 = 3
(Использованы: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12; число 5 осталось, но нужно 12 чисел. Исправим: 12-5=7, 11-4=7 (нельзя), 12-4=8, 11-3=8 (нельзя).
Рабочая комбинация: $12-5=7$, $11-3=8$, $10-6=4$, $9-2=7$ (нельзя).
Попробуем: $12-1=11$, $10-2=8$, $9-3=6$, $7-5=2$ (Числа: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 4. Все 12 чисел на месте!).
