Задача 5: Треть всего пути автомобиль проехал с постоянной скоростью v1 = 40 км/ч. Затем треть всего времени он ехал с постоянной скоростью v2 = 90 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути, если она оказалась равна средней скорости на оставшемся участке.

### Задача 5 Пусть $S$ — весь путь, $T$ — все время движения. Средняя скорость на всем пути $v_{cp} = S/T$. 1. Первый участок: путь $S_1 = S/3$, скорость $v_1 = 40$ км/ч. Время $t_1 = S_1/v_1 = S/120$. 2. Второй участок: время $t_2 = T/3$, скорость $v_2 = 90$ км/ч. Путь $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 30T$. 3. Третий участок: время $t_3 = T - t_1 - t_2 = T - S/120 - T/3 = 2T/3 - S/120$. Путь $S_3 = S - S_1 - S_2 = 2S/3 - 30T$. Средняя скорость на третьем участке $v_3 = S_3 / t_3$. По условию $v_3 = v_{cp} = S/T$. Значит $S_3 = v_{cp} \cdot t_3 = (S/T) \cdot (2T/3 - S/120) = 2S/3 - S^2/(120T)$. Приравниваем два выражения для $S_3$: $2S/3 - 30T = 2S/3 - S^2/(120T)$ $30T = S^2/(120T) \implies 3600T^2 = S^2 \implies S/T = 60$. **Ответ: 60 км/ч.** ### Задача 7* Пусть $S$ — весь путь, $T$ — все время, $v_{cp} = S/T$. 1. Первый участок: $S_1 = S/3$, $v_1 = 46$ км/ч. $t_1 = S/138$. 2. Второй участок: $t_2 = T/4$, $v_2 = 1.5 \cdot v_{cp} = 1.5 S/T$. $S_2 = v_2 t_2 = (1.5 S/T) \cdot (T/4) = 3S/8$. 3. Третий участок: $S_3 = S - S_1 - S_2 = S - S/3 - 3S/8 = S(1 - 8/24 - 9/24) = 7S/24$. Скорость $v_3 = 2v_{cp} = 2S/T$. Время $t_3 = S_3 / v_3 = (7S/24) / (2S/T) = 7T/48$. Все время: $T = t_1 + t_2 + t_3 = S/138 + T/4 + 7T/48$. $T(1 - 1/4 - 7/48) = S/138 \implies T(48/48 - 12/48 - 7/48) = S/138 \implies T(29/48) = S/138$. $S/T = 138 \cdot 29 / 48 = 69 \cdot 29 / 24 = 23 \cdot 29 / 8 = 667 / 8 = 83.375$. Максимальная скорость $v_{max} = 2v_{cp} = 2 \cdot 83.375 = 166.75$ км/ч. **Ответ: 166.75 км/ч.** ### Задача 8** Пусть $S$ — весь путь, $T$ — все время. 1. Первый участок: $S_1 = S/n$, $v_1 = 8$ км/ч. $t_1 = S_1/v_1 = S/(8n)$. 2. Второй участок: $t_2 = T/n$, $v_2 = 32$ км/ч. $S_2 = v_2 t_2 = 32T/n$. 3. Третий участок: $S_3 = S - S_1 - S_2 = S - S/n - 32T/n$. Время $t_3 = T - t_1 - t_2 = T - S/(8n) - T/n = T(n-1)/n - S/(8n)$. По условию $v_3 = v_{cp} = S/T$. Значит $S_3 = v_{cp} t_3 = (S/T) \cdot (T(n-1)/n - S/(8n)) = S(n-1)/n - S^2/(8nT)$. Приравниваем $S_3$: $S - S/n - 32T/n = S(n-1)/n - S^2/(8nT)$. Разделим на $S$ и домножим на $nT$: $nT - T - 32T^2/S = nT - T - S/8 \implies 32T^2/S = S/8 \implies S^2 = 256T^2 \implies S/T = 16$. $v_{cp} = 16$ км/ч. Условие возможности: время $t_3 > 0$. $T(n-1)/n > S/(8n) \implies T(n-1) > S/8 \implies 8(n-1) > S/T = 16 \implies n-1 > 2 \implies n > 3$. **Ответ: $v_{cp} = 16$ км/ч, возможно при $n > 3$.**