А1. В треугольнике ABC дано: AB=7, AC=12, ∠BAC=135°. Найдите площадь треугольника ABC.

А1. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними находится по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(C)$. Подставим значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12 \cdot \sin(135^\circ) = 42 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 21\sqrt{2}$. Ответ: 2) $21\sqrt{2}$. А2. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит стороны 8 см и 8 см. Угол при основании 30°, значит и второй угол при основании 30°. Угол между боковыми сторонами равен $180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(120^\circ) = 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$. Ответ: 3) $16\sqrt{3} \text{ см}^2$. А3. Площадь ромба через сторону $a$ и угол $\alpha$: $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$. Подставим: $a^2 \cdot \sin(60^\circ) = 18\sqrt{3}$. $a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ $a^2 = 36$ $a = 6$. Ответ: 2) 6 см. В1. Площадь выпуклого четырехугольника через диагонали $d_1, d_2$ и угол между ними $\alpha$: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \cdot \sin(\alpha)$. $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(45^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$. Ответ: $20\sqrt{2} \text{ см}^2$.