1.116. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Для избавления от иррациональности в знаменателе часто достаточно сократить дробь, разложив числитель на множители. 1) $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$. Заметим, что числитель — это неполный квадрат, но мы можем домножить на $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$: $\frac{(x - \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y} = \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x-y}$. 2) $\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} = \frac{3^2 + 3\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2}{3 + \sqrt{a}}$. Это не сокращается напрямую. Домножим на $(3-\sqrt{a})$: $\frac{(9+3\sqrt{a}+a)(3-\sqrt{a})}{9-a} = \frac{27 - a\sqrt{a}}{9-a}$. 3) $\frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}}$. Домножим на $(1+2\sqrt{x})$: $\frac{(1 - 2\sqrt{x} + 4x)(1+2\sqrt{x})}{1-4x} = \frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1-4x}$. 4) $\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}$. Домножим на $(a\sqrt{b}-2)$: $\frac{(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b}-2)}{a^2b - 4} = \frac{a^3b\sqrt{b} - 8}{a^2b-4}$. 5) $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})\sqrt{y}}{y} = \frac{\sqrt{xy} - y}{y}$. 6) $\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \frac{(a + \sqrt{b})\sqrt{b}}{ab} = \frac{a\sqrt{b} + b}{ab}$. 7) $\frac{7 - \sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a}$. Заметим, что знаменатель — это неполный квадрат. Домножим на $(7+\sqrt{a})$: $\frac{(7-\sqrt{a})(7+\sqrt{a})}{(49-7\sqrt{a}+a)(7+\sqrt{a})} = \frac{49-a}{343 + a\sqrt{a}}$. 8) $\frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1}$. Домножим на $(\sqrt{mn}-1)$: $\frac{(\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)}{(mn+\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)} = \frac{mn-1}{mn\sqrt{mn}-1}$. 9) $\frac{a + 2\sqrt{2a} + 2}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{2})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{2}$.