Является ли число 0,5 решением неравенства (3x + 7,8) / 2 >= 2x?

1. Подставим $x = 0,5$ в неравенство: $\frac{3 \cdot 0,5 + 7,8}{2} \ge 2 \cdot 0,5 \Rightarrow \frac{1,5 + 7,8}{2} \ge 1 \Rightarrow \frac{9,3}{2} \ge 1 \Rightarrow 4,65 \ge 1$. Верно. Ответ: Да, является. 2. $\frac{4 - 5x}{4} \le 2 + \frac{x}{8} | \cdot 8 \Rightarrow 2(4 - 5x) \le 16 + x \Rightarrow 8 - 10x \le 16 + x \Rightarrow -11x \le 8 \Rightarrow x \ge -\frac{8}{11}$. 3. $|4 - 3x| \ge 6 \Rightarrow \begin{cases} 4 - 3x \ge 6 \Rightarrow -3x \ge 2 \Rightarrow x \le -\frac{2}{3} \\ 4 - 3x \le -6 \Rightarrow -3x \le -10 \Rightarrow x \ge \frac{10}{3} \end{cases}$. Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{10}{3}; +\infty)$. 4. $8x - 15x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow 15x^2 - 8x + 1 \le 0$. Корни $15x^2 - 8x + 1 = 0$: $D = 64 - 60 = 4$. $x = \frac{8 \pm 2}{30} \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = \frac{1}{5}$. Ответ: $x \in [\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$. 5. $\frac{x^2 - 4,5x - 3}{5 - 2,5x} \le 1 \Rightarrow \frac{x^2 - 4,5x - 3 - (5 - 2,5x)}{5 - 2,5x} \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 2x - 8}{5 - 2,5x} \le 0$. Корни числителя: $x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 \Rightarrow x=4, x=-2$. Знаменатель: $5 - 2,5x = 0 \Rightarrow x=2$. Метод интервалов: $(-\infty; -2] \cup (2; 4]$. 6. $f(x) = \frac{(2x-3)^2(3x+1)(x-3)}{x(2-x)}$. Нули: $x = 1,5$ (кратность 2), $x = -1/3$, $x = 3$. Точки разрыва: $x=0, x=2$. а) $f(x) > 0 \Rightarrow x \in (-1/3; 0) \cup (2; 3)$. (Учесть, что в 1,5 функция равна 0). б) $f(x) \ge 0 \Rightarrow x \in [-1/3; 0) \cup [1,5; 1,5] \cup (2; 3]$. в) $f(x) < 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1/3) \cup (0; 2) \cup (3; +\infty)$. г) $f(x) \le 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1/3] \cup (0; 2) \cup [3; +\infty) \cup \{1,5\}$. 7. 1) $\frac{5-2x}{3} \le \frac{3x+5}{2} + 1 \Rightarrow 10 - 4x \le 9x + 15 + 6 \Rightarrow -13x \le 11 \Rightarrow x \ge -\frac{11}{13}$. 2) $4x \ge 2x - 8 + x^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 \le 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) \le 0 \Rightarrow x \in [-2; 4]$. Пересечение: $x \in [-\frac{11}{13}; 4]$. 8. 1) $3x^2 - 7x - 10 \le 0$. Корни: $x = -1, x = 10/3$. $x \in [-1; 10/3]$. 2) $\frac{2x-1}{2-3x} - 3 > 0 \Rightarrow \frac{2x-1 - 6 + 9x}{2-3x} > 0 \Rightarrow \frac{11x - 7}{2-3x} > 0 \Rightarrow \frac{11x - 7}{3x - 2} < 0$. Корни: $x = 7/11, x = 2/3$. $x \in (2/3; 7/11)$. Пересечение: $x \in (2/3; 7/11)$. 9. $2 \le \frac{4x-7}{5} \le 4 \Rightarrow 10 \le 4x - 7 \le 20 \Rightarrow 17 \le 4x \le 27 \Rightarrow 4,25 \le x \le 6,75$. Ответ: $x \in [4,25; 6,75]$. 10. 1) $\frac{x-1}{2} - \frac{2x+3}{3} + \frac{x}{6} < 2 - \frac{x+5}{2} | \cdot 6 \Rightarrow 3x - 3 - 4x - 6 + x < 12 - 3x - 15 \Rightarrow 0x - 9 < -3 - 3x \Rightarrow 3x < 6 \Rightarrow x < 2$. 2) $1 - \frac{x+5}{8} + \frac{4-x}{2} < 3x - \frac{x+1}{4} | \cdot 8 \Rightarrow 8 - x - 5 + 16 - 4x < 24x - 2x - 2 \Rightarrow 19 - 5x < 22x - 2 \Rightarrow 21 < 27x \Rightarrow x > 21/27 = 7/9$. Решение: $x \in (7/9; 2)$. Целые числа: $1$. Ответ: 1.