Сундук Кощея: Пароль – это наибольшее натуральное число, в записи которого нет цифр 0 и 2, все цифры различны, а произведение любых двух рядом стоящих цифр делится на 3.

Для решения этой задачи нужно составить наибольшее число, соблюдая следующие условия: 1. В записи числа нет цифр 0 и 2. 2. Все цифры различны. 3. Произведение любых двух рядом стоящих цифр делится на 3. Это означает, что хотя бы одна из двух соседних цифр должна делиться на 3 (то есть быть 3, 6 или 9). Поскольку мы хотим получить наибольшее число, мы должны стремиться использовать как можно больше цифр (всего их 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но исключаем 0 и 2, остается 7 цифр: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Чтобы число было наибольшим, в старших разрядах должны стоять самые большие возможные цифры. Цифры, делящиеся на 3: 3, 6, 9. Цифры, не делящиеся на 3: 1, 4, 5, 7, 8. Правило «произведение соседних делится на 3» означает, что мы не можем ставить рядом две цифры из списка {1, 4, 5, 7, 8}. Между каждыми двумя такими цифрами обязательно должна стоять цифра из {3, 6, 9}. У нас есть 5 «неделимых на 3» цифр и 3 «делимых на 3» цифры. Чтобы их чередовать (разделитель, число, разделитель...), нам нужно поставить хотя бы 4 «делимых на 3» цифры для 5 «неделимых» (например: Н-Д-Н-Д-Н-Д-Н-Д-Н), но у нас всего 3 цифры, делящихся на 3. Это значит, что все 5 «неделимых» цифр использовать не получится. Максимальное количество цифр, которые можно использовать: Разделителей (делимых на 3) — 3 (это цифры 9, 6, 3). Чтобы «разобщить» 4 «неделимых» цифры, нам нужно 3 разделителя: (Н-Д-Н-Д-Н-Д-Н). То есть мы можем использовать 4 «неделимые» цифры и 3 «делимые». Всего 7 цифр. Чтобы число было наибольшим, начнем с самой большой доступной цифры: 1. Берем самую большую цифру из «неделимых»: 8. 2. Ставим самую большую из «делимых»: 9. 3. Следующая «неделимая»: 7. 4. Следующая «делимая»: 6. 5. Следующая «неделимая»: 5. 6. Следующая «делимая»: 3. 7. Следующая «неделимая»: 4. Получаем число: 8976534. Ответ: 8976534