№ 1. События U и V независимы. Найдите вероятность события U ∩ V, если: а) P(U) = 0,4, P(V) = 0,6; б) P(U) = 0,1, P(V) = 0,8.

№ 1 Для независимых событий $P(U \cap V) = P(U) \cdot P(V)$. а) $P(U \cap V) = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24$. б) $P(U \cap V) = 0,1 \cdot 0,8 = 0,08$. № 2 Для независимых событий $P(K \cap L) = P(K) \cdot P(L)$, откуда $P(K) = \frac{P(K \cap L)}{P(L)}$. а) $P(K) = \frac{0,48}{0,8} = 0,6$. б) $P(K) = \frac{0,08}{0,2} = 0,4$. № 3 Всего исходов при броске кубика: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Событие А (чётное): {2, 4, 6}, $P(A) = \frac{3}{6} = 0,5$. а) $B$ = {3, 6}, $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. $A \cap B = \{6\}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. Проверим: $P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. События независимы. б) $B$ = {5}, $P(B) = \frac{1}{6}$. $A \cap B = \emptyset$, $P(A \cap B) = 0$. Проверим: $P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \neq 0$. События зависимы. № 4 Всего 10 фломастеров (3 не пишут, 7 пишут). Нужно, чтобы порядок был: (Пишет, Пишет, Не пишет). $P = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{42}{240} = 0,175$. № 5 Всего 15 яблок. Выбираем 2. Всего комбинаций: $C_{15}^2 = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105$. Благоприятные исходы (1 красное и 1 зелёное): $10 \cdot 5 = 50$. Вероятность: $\frac{50}{105} = \frac{10}{21} \approx 0,476$.