1. Упростите выражение: а) x^5 * (-x^4); в) (-x)^3 * x^4; б) x^3 * (-x)^4; г) (-x)^3 * (-x)^4;

### 1. Упрощение выражений: 1) а) $x^5 \cdot (-x^4) = -x^9$; б) $x^3 \cdot (-x)^4 = x^7$; в) $(-x)^3 \cdot x^4 = -x^7$; г) $(-x)^3 \cdot (-x)^4 = -x^7$ 2) а) $(a^5)^5 \cdot a^5 = a^{30}$; б) $(a^5 \cdot a^3)^2 = a^{16}$; в) $a^4 \cdot (a^6)^6 = a^{40}$; г) $a \cdot (a^7)^7 = a^{50}$ 3) а) $(c^4)^2 \cdot (c^3)^4 = c^{20}$; б) $(c \cdot c^2)^2 \cdot (c \cdot c^2)^2 = c^{12}$; в) $(c^3)^2 \cdot (c^2 \cdot c^3)^2 = c^{16}$ 4) а) $y^{12} : (y^6)^2 = 1$; б) $(y^4)^3 : (y^4)^2 = y^4$; в) $(y \cdot y^2)^3 : (y \cdot y^3)^2 = y^9 : y^8 = y$ ### 2. Подбор выражений: а) $(x^6)^2 = x^{12}$ или $x^6 \cdot x^6$; б) $(x^6)^6 = x^{36}$ или $x^{18} \cdot x^{18}$; в) $-(x^8)^3 = -x^{24}$ или $-x^{12} \cdot x^{12}$ ### 3. Свойства степеней: 1) а) $3^7 \cdot 3^4 : 3^{10} = 3^1 = 3$; б) $5^{20} : 5^{10} : 5^8 = 5^2 = 25$ 2) а) $9^4 : 3^7 = (3^2)^4 : 3^7 = 3^8 : 3^7 = 3$; б) $8^3 : 4^5 = (2^3)^3 : (2^2)^5 = 2^9 : 2^{10} = 0,5$; в) $27^2 \cdot 9^4 : 81^1 = (3^3)^2 \cdot (3^2)^4 : (3^4)^1 = 3^6 \cdot 3^8 : 3^4 = 3^{10} = 59049$ 3) а) $10^{12} : (2^6 \cdot 5^4) = 10^{12} : (2^2 \cdot 10^4) = 10^8 : 4 = 25000000$; б) $5^{16} \cdot 3^{16} : 15^{14} = 15^{16} : 15^{14} = 15^2 = 225$; в) $12^5 : (3^4 \cdot 4^5) = (3^5 \cdot 4^5) : (3^4 \cdot 4^5) = 3^1 = 3$ ### 4. Замена значка *: 1) $(a \cdot a^6)^2 \cdot a^{-12} = a^2$; 2) $(a^3)^2 \cdot a^{18} = a^{24}$; 3) $(a^3)^3 \cdot (-a^{15}) = -a^{24}$; 4) $a^6 \cdot (a \cdot a^2)^2 = (-a^8) \cdot (-a^4)$ ### 5. Анализ ошибок ученика: Ученик не знает или неверно применяет: - Определение степени: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ ($n$ раз). - Свойства $(-a)^n = a^n$ для четного $n$, а также $a^0=1, a^1=a$. - Основные свойства степеней: - $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (при умножении показатели складываются, основание не меняется). - $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при делении показатели вычитаются). - $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (при возведении степени в степень показатели перемножаются). - $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ (возведение произведения в степень). - Сумма степеней не сводится к $a^{m+n}$ или подобным упрощениям.