Question

Векторы a и b - не нулевые. Известно, |a - 22b| = |a + 22b|. Докажите, что векторы a и b перпендикулярны друг другу.

Accepted Answer

Для того чтобы доказать, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

1. Возведем обе части заданного уравнения в квадрат:
$|\vec{a} - 22\vec{b}|^2 = |\vec{a} + 22\vec{b}|^2$

2. Используем свойство скалярного квадрата вектора $|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$:
$(\vec{a} - 22\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 22\vec{b}) = (\vec{a} + 22\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 22\vec{b})$

3. Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:
$|\vec{a}|^2 - 2 \cdot 22 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 22^2 |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \cdot 22 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 22^2 |\vec{b}|^2$

4. Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$|\vec{a}|^2 - 44(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 484|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 - 44(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 484|\vec{b}|^2 = 0$

5. Приведем подобные слагаемые:
$-88(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

6. Разделим на $-88$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Векторы a и b - не нулевые. Известно, |a - 22b| = |a + 22b|. Докажите, что векторы a и b перпендикулярны друг другу.

Ответ ассистента

Другие решения