Векторы a и b - не нулевые. Известно, |a - 22b| = |a + 22b|. Докажите, что векторы a и b перпендикулярны друг другу.

Для доказательства перпендикулярности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, воспользуемся свойством скалярного квадрата вектора: квадрат модуля вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Возведем обе части равенства в квадрат: $|\vec{a} - 22 \vec{b}|^2 = |\vec{a} + 22 \vec{b}|^2$ Распишем через скалярное произведение: $(\vec{a} - 22 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 22 \vec{b}) = (\vec{a} + 22 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 22 \vec{b})$ Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность): $\vec{a}^2 - 2 \cdot \vec{a} \cdot (22 \vec{b}) + (22 \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2 \cdot \vec{a} \cdot (22 \vec{b}) + (22 \vec{b})^2$ $\vec{a}^2 - 44(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 484\vec{b}^2 = \vec{a}^2 + 44(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 484\vec{b}^2$ Вычтем одинаковые слагаемые $\vec{a}^2$ и $484\vec{b}^2$ из обеих частей: $-44(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 44(\vec{a} \cdot \vec{b})$ Перенесем слагаемые в одну сторону: $88(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ Разделим на 88: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.