Задача 10. Векторы а и b — не нулевые. Известно, |а - 22b| = |а + 22b|. Докажите, что векторы а и b перпендикулярны друг другу.

Для доказательства того, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. 1. Дано равенство длин векторов: $|\vec{a} - 22\vec{b}| = |\vec{a} + 22\vec{b}|$ 2. Возведем обе части уравнения в квадрат: $|\vec{a} - 22\vec{b}|^2 = |\vec{a} + 22\vec{b}|^2$ 3. Используем свойство квадрата модуля вектора: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. $(\vec{a} - 22\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 22\vec{b}) = (\vec{a} + 22\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 22\vec{b})$ 4. Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения: $\vec{a}^2 - 2 \cdot 22(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (22\vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2 \cdot 22(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (22\vec{b})^2$ 5. Упростим выражение: $\vec{a}^2 - 44(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 484\vec{b}^2 = \vec{a}^2 + 44(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 484\vec{b}^2$ 6. Вычтем из обеих частей $\vec{a}^2 + 484\vec{b}^2$: $-44(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 44(\vec{a} \cdot \vec{b})$ 7. Перенесем все в одну сторону: $88(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ 8. Так как 88 ≠ 0, следовательно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.