2. Дан статистический ряд признака X. Выдвинуть гипотезу о распределении генеральной совокупности по выборочным данным с помощью критерия Пирсона при уровне значимости α=0.01.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона выполним следующие шаги: 1. Найдем объем выборки $n$: $n = 3 + 9 + 19 + 36 + 17 + 8 + 2 = 94$ 2. Вычислим выборочное среднее $\bar{x}$: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{n} = \frac{3 \cdot 3 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 19 + 6 \cdot 36 + 7 \cdot 17 + 8 \cdot 8 + 9 \cdot 2}{94} = \frac{9 + 36 + 95 + 216 + 119 + 64 + 18}{94} = \frac{557}{94} \approx 5.926$ 3. Вычислим выборочную дисперсию $D_B$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma$: $\bar{x^2} = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} = \frac{3^2 \cdot 3 + 4^2 \cdot 9 + 5^2 \cdot 19 + 6^2 \cdot 36 + 7^2 \cdot 17 + 8^2 \cdot 8 + 9^2 \cdot 2}{94} = \frac{27 + 144 + 475 + 1296 + 833 + 512 + 162}{94} = \frac{3449}{94} \approx 36.691$ $D_B = \bar{x^2} - (\bar{x})^2 = 36.691 - (5.926)^2 \approx 36.691 - 35.117 = 1.574$ $\sigma = \sqrt{1.574} \approx 1.255$ 4. Для проверки гипотезы о нормальном распределении находим теоретические частоты $n'_i$. Используем формулу Лапласа: $P(x_i) = \frac{h}{\sigma} \varphi(u_i)$, где $u_i = \frac{x_i - \bar{x}}{\sigma}$, $h=1$ (шаг). Находим значения $u_i$ и соответствующие им теоретические частоты $n'_i = n \cdot P(x_i)$: - $x=3: u = (3-5.926)/1.255 = -2.33, \varphi(-2.33) \approx 0.0264, n'_1 = 94 \cdot 0.0264 / 1.255 \approx 1.98$ - $x=4: u = (4-5.926)/1.255 = -1.53, \varphi(-1.53) \approx 0.1238, n'_2 = 94 \cdot 0.1238 / 1.255 \approx 9.27$ - $x=5: u = (5-5.926)/1.255 = -0.74, \varphi(-0.74) \approx 0.3011, n'_3 = 94 \cdot 0.3011 / 1.255 \approx 22.55$ - $x=6: u = (6-5.926)/1.255 = 0.06, \varphi(0.06) \approx 0.3989, n'_4 = 94 \cdot 0.3989 / 1.255 \approx 29.87$ - $x=7: u = (7-5.926)/1.255 = 0.86, \varphi(0.86) \approx 0.2780, n'_5 = 94 \cdot 0.2780 / 1.255 \approx 20.82$ - $x=8: u = (8-5.926)/1.255 = 1.65, \varphi(1.65) \approx 0.1062, n'_6 = 94 \cdot 0.1062 / 1.255 \approx 7.95$ - $x=9: u = (9-5.926)/1.255 = 2.45, \varphi(2.45) \approx 0.0203, n'_7 = 94 \cdot 0.0203 / 1.255 \approx 1.52$ 5. Вычисляем $\chi^2_{набл} = \sum \frac{(n_i - n'_i)^2}{n'_i} \approx 3.75$ 6. Определяем критическое значение. Число степеней свободы $k = m - 3 = 7 - 3 = 4$. По таблице $\chi^2$ при $\alpha=0.01$ и $k=4$, $\chi^2_{крит} = 13.28$. Вывод: Так как $3.75 < 13.28$, гипотеза о нормальном распределении принимается.