Дан статистический ряд признака X. Выдвинуть гипотезу о распределении генеральной совокупности по выборочным данным с помощью критерия Пирсона при уровне значимости α=0.01.

Дано: Уровни признака $X_i$: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Частоты $n_i$: 3, 9, 19, 36, 17, 8, 2 Уровень значимости $\alpha = 0,01$ Решение: 1. Находим объем выборки $n = \sum n_i = 3+9+19+36+17+8+2 = 94$. 2. Выборочное среднее $\overline{x} = \frac{\sum x_i n_i}{n} = \frac{3\cdot3 + 4\cdot9 + 5\cdot19 + 6\cdot36 + 7\cdot17 + 8\cdot8 + 9\cdot2}{94} = \frac{9+36+95+216+119+64+18}{94} = \frac{557}{94} \approx 5,93$. 3. Выборочная дисперсия $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} - \overline{x}^2 = \frac{3^2\cdot3 + 4^2\cdot9 + 5^2\cdot19 + 6^2\cdot36 + 7^2\cdot17 + 8^2\cdot8 + 9^2\cdot2}{94} - 5,93^2 = \frac{3587}{94} - 35,16 \approx 38,16 - 35,16 = 3,0$. Стандартное отклонение $\sigma \approx 1,73$. Предположим нормальное распределение. Вычисляем теоретические вероятности $p_i$ и частоты $n'_i = n \cdot p_i$. | $X_i$ | $n_i$ | $z_i = (X_i - \overline{x})/\sigma$ | $p_i$ | $n'_i$ | $(n_i - n'_i)^2/n'_i$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 3 | 3 | -1,70 | 0,022 | 2,07 | 0,42 | | 4 | 9 | -1,12 | 0,094 | 8,84 | 0,00 | | 5 | 19 | -0,54 | 0,227 | 21,34 | 0,26 | | 6 | 36 | 0,04 | 0,233 | 21,90 | 9,10 | | 7 | 17 | 0,62 | 0,166 | 15,60 | 0,13 | | 8 | 8 | 1,20 | 0,070 | 6,58 | 0,30 | | 9 | 2 | 1,78 | 0,021 | 1,97 | 0,00 | Сумма $\chi^2_{набл} \approx 10,21$. Число степеней свободы $k = m - 3 = 7 - 3 = 4$ (где $m$ — число групп). По таблице $\chi^2_{крит}$ для $\alpha=0,01$ и $k=4$ значение составляет $13,28$. Так как $10,21 < 13,28$, гипотеза о нормальном распределении принимается. :::@chart-1:::