1. События U и V независимы. Найдите вероятность события U ∩ V, если: а) P(U) = 0,4, P(V) = 0,6;

Допущение: для решения задач использовано свойство независимых событий: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. 1. Используем формулу $P(U \cap V) = P(U) \cdot P(V)$: а) $0,4 \cdot 0,6 = 0,24$ б) $0,1 \cdot 0,8 = 0,08$ в) $(1 - \alpha)(1 - \beta)$ 2. Используем формулу $P(K) = \frac{P(K \cap L)}{P(L)}$: а) $0,48 : 0,8 = 0,6$ б) $0,08 : 0,2 = 0,4$ в) $\alpha\beta : \alpha = \beta$ (так как $\alpha \neq 0$) г) $\frac{\alpha\beta - \alpha - \beta + 1}{1 - \beta} = \frac{\alpha(\beta - 1) - 1(\beta - 1)}{-( \beta - 1 )} = \frac{(\alpha - 1)(\beta - 1)}{-( \beta - 1 )} = -(\alpha - 1) = 1 - \alpha$ 3. Используем формулу $P(U \cap V \cap W) = P(U) \cdot P(V) \cdot P(W)$: а) $0,4 \cdot 0,6 \cdot 0,5 = 0,12$ б) $0,4 \cdot 0,3 \cdot 0,1 = 0,012$ в) $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma = \alpha\beta\gamma$ 4. Используем формулу $P(K) = \frac{P(K \cap L \cap M)}{P(L \cap M)}$ (для а и б) или $P(K) = \frac{P(K \cap L \cap M)}{P(L) \cdot P(M)}$: а) $0,096 : (0,8 \cdot 0,6) = 0,096 : 0,48 = 0,2$ б) $0,06 : 0,1 = 0,6$ в) $\frac{\alpha^4\beta^4}{\alpha^2\beta^2 \cdot \alpha\beta^2} = \frac{\alpha^4\beta^4}{\alpha^3\beta^4} = \alpha$ 5. Всего чисел 24. $C$ — четные: 12 чисел. $P(C) = \frac{12}{24} = 0,5$. а) $D$: 8 чисел. $C \cap D$: 4 числа (6, 12, 18, 24). $P(D) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$. $P(C \cap D) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$. Так как $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$, события независимы. б) $D$: 4 числа (5, 10, 15, 20). $P(D) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$. $C \cap D$: 2 числа (10, 20). $P(C \cap D) = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$. Так как $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$, события независимы. в) $D$: 6 чисел (4, 8, 12, 16, 20, 24). $P(D) = \frac{6}{24} = 0,25$. $C \cap D$: 6 чисел. $P(C \cap D) = \frac{6}{24} = 0,25$. Так как $0,5 \cdot 0,25 \neq 0,25$, события зависимы. 6. $P(A) = 0,5$ ($2, 4, 6$ из $6$). а) $B$: 2 числа (3, 6). $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. $A \cap B$: {6}, $P = \frac{1}{6}$. Так как $0,5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$, независимы. б) $B$: 1 число (5). $P(B) = \frac{1}{6}$. $A \cap B = 0$. Так как $0,5 \cdot \frac{1}{6} \neq 0$, зависимы. 7. Эксперимент: подбрасывание монеты дважды. а) {ОО, ОП, ПО, ПП}. б) $A$: {ОО, ОП} (2 события), $B$: {ОО, ПО} (2 события). в) $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,5$, $P(A \cap B) = 0,25$. г) Да, так как $0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.